Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

7.1 METODE TERTUTUP

Metode tertutup disebut juga metode bracketing. Disebut sebagai metode tertutup karena dalam pencarian akar-akar persamaan non-linier dilakukan dalam suatu selang [a,b]. Dalam metode tertutup ini ada sub metode lagi yakni metode Tabel, metode Biseksi dan metode Regula Falsi. Berikut saya akan membahas tentang bagaimana cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan menggunakan sub metode Tabel.

7.1.1 METODE TABEL

Penyelesaian persamaan non-linier menggunakan metode tabel dilakukan dengan membagi persamaan menjadi beberapa area, dimana untuk x =[a,b] dibagi sebanyakN bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f (x)sehingga diperoleh nilai f (x) pada setian N bagian. Bila nilai f (xk) = 0 atau mendekati nol, dimana a ≤ k ≤ b, maka dikatakan bahwa xk adalah penyelesaian persamaan f (x). Bila tidak ditemukan, dicari nilai f (xk) dan f (xk+1) yang berlawanan tanda. Bila tidak ditemukan, maka persamaan tersebu dapat dikatakan tidak mempunyai akar untuk rentang[a,b]. Bila akar persamaan tidak ditemukan, maka ada dua kemungkinan untuk menentukan akar persamaan, yaitu: a. Akar persamaan ditentukan oleh nilai mana yang lebih dekat. Bila f (xk) ≤ f (xk+1), maka akarnya xk. Bila f (xk+1) ≤ f (xk), maka akarnya xk+1. b. Perlu dicari lagi menggunakan rentang x =[xk,xk+1].

Berikut soal-soal yang akan dibahas pada chapter kali ini.

Soal Halaman 28 nomor 1-5 Buku Matematika

  1. 4x – 7 < 3x – 5
  2. 2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6
  3. x^2 + x – 12 < 0
  4. 3x2 - 11x - 4 < 0
  5. x+5/2−1 ≤ 0

Penyelesaian soal nomor 1

Manual

4x – 7 < 3x – 5

4x - 7 < 3x - 5

4x-3x < 7-5

HP = {x < 2}

Tabel

Untuk membuat tabel kita menggunakan fungsi root_tabel()

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 
tabel <- root_table(f=function(x){4*x - 7 - 3*x - 5}, a=-1, b=0, N=10)

tabel
##       x    fx
## 1  -1.0 -13.0
## 2  -0.9 -12.9
## 3  -0.8 -12.8
## 4  -0.7 -12.7
## 5  -0.6 -12.6
## 6  -0.5 -12.5
## 7  -0.4 -12.4
## 8  -0.3 -12.3
## 9  -0.2 -12.2
## 10 -0.1 -12.1
## 11  0.0 -12.0
Grafik

Penyelesaian menggunakan grafik dengan fungsi plot()

plot(tabel, type="l")

Penyelesaian soal nomor 2

Manual

2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

Persamaan pertama

2x - 4 ≤ 6 - 7x

2x + 7x ≤ 6 + 4

9x ≤ 10

x ≤ 10/9

Persamaan kedua

6 - 7x ≤ 3x + 6

-3x - 7x ≤ - 6 + 6

-10x ≤ 0

x ≤ 0

HP = {0≤x≤10/9}

Tabel

tabe1l <- root_table(f=function(x){2*x - 4 - 6 - 7*x - 3*x + 6}, a=0, b=1, N=10)

tabe1l
##      x    fx
## 1  0.0  -4.0
## 2  0.1  -4.8
## 3  0.2  -5.6
## 4  0.3  -6.4
## 5  0.4  -7.2
## 6  0.5  -8.0
## 7  0.6  -8.8
## 8  0.7  -9.6
## 9  0.8 -10.4
## 10 0.9 -11.2
## 11 1.0 -12.0
Grafik
plot(tabe1l, type="l")

Penyelesaian soal nomor 3

Manual

x^2 + x – 12 < 0

x^2 + x - 12 < 0

(x + 4) (x - 3) < 0

x + 4 > 0

x > - 4

x - 3

x < 3

HP = {-4 < x < 3}

Tabel

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 
tabel <- root_table(f=function(x){x*2 + x - 12 }, a=-4, b=0, N=20)

print(tabel)
##       x    fx
## 1  -4.0 -24.0
## 2  -3.8 -23.4
## 3  -3.6 -22.8
## 4  -3.4 -22.2
## 5  -3.2 -21.6
## 6  -3.0 -21.0
## 7  -2.8 -20.4
## 8  -2.6 -19.8
## 9  -2.4 -19.2
## 10 -2.2 -18.6
## 11 -2.0 -18.0
## 12 -1.8 -17.4
## 13 -1.6 -16.8
## 14 -1.4 -16.2
## 15 -1.2 -15.6
## 16 -1.0 -15.0
## 17 -0.8 -14.4
## 18 -0.6 -13.8
## 19 -0.4 -13.2
## 20 -0.2 -12.6
## 21  0.0 -12.0

Grafik

#Membuat vektor data 
x <- c(-4:3); y <- x^2 + x - 12

#Membagi jendela grafik menjadi 1 baris dan 1 kolom
par(mfrow=c(1,1))

#Output
plot(x, y, type="l")

Penyelesaian soal nomor 4

Manual

3(x^2) - 11x - 4 < 0

(3x + 1) (x - 4) < 0

3x + 1 < 0

3x < -1

x < -1/3

x - 4 < 0

x < 4

HP = {-1/3 <x< 4}

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 
tabel <- root_table(f=function(x){3*x^2 - 11*x - 4}, a=0, b=4, N=10)

print(tabel)
##      x     fx
## 1  0.0  -4.00
## 2  0.4  -7.92
## 3  0.8 -10.88
## 4  1.2 -12.88
## 5  1.6 -13.92
## 6  2.0 -14.00
## 7  2.4 -13.12
## 8  2.8 -11.28
## 9  3.2  -8.48
## 10 3.6  -4.72
## 11 4.0   0.00

Grafik

#membuat vektor data 
x <- c(-0.33:4); y <- 3*x^2 - 11*x -4
#Membagi jendela grafik menjadi 1 baris dan 1 kolom
par(mfrow=c(1,1))

plot(x, y, type="l")

Penyelesaian soal nomor 5

Manual

x+5/2x−1 ≤ 0

(x + 5) / (2x - 1) ≤ 0

2x - 1 < 0

2x < 1

x < 1/2

x + 5 ≤ 0

x ≤ -5

HP = {-5 ≤ x ≤ 1/2}

Tabel

root_table <- function(f, a, b, N=20){
  h <- abs((a+b)/N)
  x <- seq(from=a, to=b, by=h)
  fx <- rep(0, N+1)
  for(i in 1:(N+1)){ 
    fx[i] <- f(x[i]) 
  } 
  data <- data.frame(x=x, fx=fx) 
  return(data)
} 
tabel <- root_table (f=function(x){x + 5/2*x-1}, a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)
##       x     fx
## 1  -5.0 -18.50
## 2  -4.5 -16.75
## 3  -4.0 -15.00
## 4  -3.5 -13.25
## 5  -3.0 -11.50
## 6  -2.5  -9.75
## 7  -2.0  -8.00
## 8  -1.5  -6.25
## 9  -1.0  -4.50
## 10 -0.5  -2.75
## 11  0.0  -1.00

Grafik

##Membuat vektor data
x <- c(-5:1.5); y <- x+5/2*x-1

#Membagi jendela grafik menjadi 1 baris dan 1 kolom
par(mfrow=c(1,1))

plot(x, y, type="l")

R Markdown

This is an R Markdown document. Markdown is a simple formatting syntax for authoring HTML, PDF, and MS Word documents. For more details on using R Markdown see http://rmarkdown.rstudio.com.

When you click the Knit button a document will be generated that includes both content as well as the output of any embedded R code chunks within the document. You can embed an R code chunk like this:

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Including Plots

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.