Suponga que si \(\theta = i\), entonces \(y\) tiene una distribución Normal con media \(i\) y desviación estándar \(\sigma\), para \(i = 1,2\). Además, suponga que \(\textsf{Pr}(\theta = 1) = \textsf{Pr}(\theta = 2) = 0.5\).
- Escriba una expresión general para la densidad marginal de \(y\) y dibújela para \(\sigma = 2\).
- Calcule \(\textsf{Pr}(\theta = 1\mid y = 1)\) y \(\textsf{Pr}(\theta = 2\mid y = 1)\) para \(\sigma = 2\).
Suponga que la urna \(C\) está llena de 60% de balotas verdes y 40% de balotas rojas, y que la urna \(S\) está llena de 40% de balotas verdes y 60% de balotas rojas. Alguien lanza una moneda y selecciona una balota de la urna \(C\) o la urna \(S\) dependiendo de si la moneda cae cara o sello, respectivamente. Sea \(x\) igual a 1 si la moneda cae cara y 0 si la moneda cae sello, y sea \(y\) igual a 1 si la balota es verde y 0 si la balota es roja.
- Calcule \(\textsf{Var}(y)\), \(\textsf{Var}(y\mid x = 0)\), \(\textsf{Var}(y\mid x = 1)\).
- Considerando la varianza como una medida de la incertidumbre, explique por qué una de estas varianzas es mayor que las otras.
A continuación se presentan los antecedentes (supuestos y juicios de valor) \(\mathcal{B}\) para este problema: \(B_1\): Por lo general, los estadísticos tienden a tener personalidades tímidas con más frecuencia que los economistas. Se cuantifica esta observación asumiendo que el 80% de los estadísticos son tímidos, pero el porcentaje correspondiente entre los economistas es sólo del 15%. \(B_2\): A las conferencias sobre econometría asisten casi exclusivamente economistas y estadísticos, y la mayoría de los participantes son economistas. Se cuantifica esta observación asumiendo que el 90% de los asistentes son economistas (y el resto estadísticos).
- Suponga que Usted (un físico, digamos) va a una conferencia de econometría y entabla una conversación con la primera persona que conoce (al azar) y descubre que esta persona es tímida. El objetivo de este problema es mostrar que la probabilidad (condicional) \(p\) de que esté hablando con un estadístico, dados estos datos y los antecedentes, es de aproximadamente 37%. Sea \(St =\) “la persona es estadística”, \(E =\) ’’la persona es economista" y \(Sh =\) “la persona es tímida”. Muestre que: \[
\frac{ \textsf{Pr} ( St \mid Sh ) }{ \textsf{Pr} ( E \mid Sh ) } = \frac{ \textsf{Pr} ( St ) }{ \textsf{Pr} ( E ) } \cdot \frac{ \textsf{Pr} ( Sh \mid St ) }{ \textsf{Pr} ( Sh \mid E ) }\,.
\]
- Muestre que la posibilidad relativa posterior \(o\) a favor de \(St\) sobre \(E\) dados los datos, es \(o = \frac{ 16 }{ 27 } \approx 0.593\).
- Muestre que la probabilidad pedida en este problema es \(p = \frac{ o }{ 1 + o } = \frac{ 16 }{ 43 } \approx 0.372\).
- Alguien dice, “esa probabilidad no puede ser correcta: el 80% de los estadísticos son tímidos, frente al 15% de los economistas, por lo que su probabilidad de hablar con un estadístico debe ser superior al 50%”. Explique por qué esta línea de razonamiento es incorrecta y por qué \(p\) debería ser menor del 50%.