Objetivo

Determina probabilidades para eventos dependientes e independientes

Descripción

Se cargan librerías necesarias Se definen los conceptos eventos dependientes e independientes Se desarrollan ejercicios para eventos dependientes e independientes.

Marco teórico

A menudo resulta más práctico calcular la probabilidad de algún evento a partir de las probabilidades conocidas de otros eventos. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión se puede representar como la unión de otros dos eventos o como el complemento de algún evento (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Si A y B son dos conjuntos con eventos similares, entonces se puede aplicar regla aditiva de probabilidad y establecer la siguiente fórmula.

\[ P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) \]

Los eventos mutuamente exclusivos son cosas que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, no se puede correr hacia adelante y hacia atrás simultáneamente. (Data Science 2019).

Las acciones “correr hacia adelante” y “correr en reversa” son mutuamente excluyentes.

Lanzar una moneda también puede ser de este tipo de evento. No se puede lanzar una moneda y obtener águila o sello al mismo tiempo. Así que “obtener sello” y “obtener águila” son eventos mutuamente exclusivos.

Si NO SON excluyentes, es decir si NO existen elementos en común entonces la regla aditiva sería:

\[ P(A∪B)=P(A)+P(B) \]

Las dos imágenes identifican ambos casos

Si A y B son mutuamente excluyentes, A ∩ B = 0 y entonces P(A ∩ B) = P(ϕ) = 0. (Walpole, Myers, and Myers 2012).

Desarrollo

Ejercicio 1

Al final del semestre John se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial de una universidad. Después de tener entrevistas en dos empresas en donde quiere trabajar, determina que la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la empresa A es 0.8, y que la probabilidad de obtenerla en la empresa B es 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de recibir ofertas de ambas empresas es 0.5,

¿Qué probabilidad tiene de obtener al menos una oferta de esas dos empresas? (Walpole, Myers, and Myers 2012). La respuesta a la pregunta se refiere a la unión de los dos eventos.

¿Son eventos EXCLUYENTES O INCLUYENTES?, Incluyentes, porque hay una probabilidad de que sucedan al mismo tiempo. Entonces:

\[ P(A)=636=16P(B)=236=118∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+118=29=0.22=22 \]

Ejercicio 3

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. (HotMath, n.d.)

\[ P(AyB)=P(A)⋅P(B) \]

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

rojas <- 4
verdes <- 3
azules <- 2
S.muestral <- sum(rojas, verdes, azules)
S.muestral
## [1] 9
P.roja <- rojas / S.muestral 
P.verde <- verdes / S.muestral
P.azul <- azules /S.muestral

P.roja; P.verde; P.azul
## [1] 0.4444444
## [1] 0.3333333
## [1] 0.2222222

\[ Prob=nN ∴ Prob=canicasS.muestralProb=nN ∴ Prob=canicasS.muestral \]

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

\[ P(Azul)=39=0.3333 P(Verde)=29=0.2222 ∴ P(Azul y Verde)=0.3333×0.2222=0.0740P(Azul)=39=0.3333 P(Verde)=29=0.2222 ∴ P(Azul y Verde)=0.3333×0.2222=0.0740Code \]

P.verde.y.azul <- P.verde * P.azul
P.verde.y.azul
## [1] 0.07407407

Eventos dependientes

Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. (HotMath, n.d.).

La probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales:

Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

\[ P(Azul) = = 0.3333 \ P(Verde) = = 0.2500 \ \ P(Azul Verde) = 0.3333 = 0.0833 \]

P.verde <- 3/9
P.azul <- 2/8
P.verde.y.azul <- P.verde * P.azul
P.verde.y.azul
## [1] 0.08333333

Ejercicio 4. Quiniela deportiva

La probabilidad de que gane un equipo de fútbol en un partido no tiene que ver con la probabilidad de que gane otro equipo de fútbol. Son eventos independientes.

América tiene una probabilidad de ganarle a Atlas del 0.33 Cruz Azul tiene una probabilidad de ganarle a Guadalajara de 0.33 Santos tiene una probabilidad de ganarle a Monterrey de 0.33

¿Cuál es la probabilidad de que gane América y Cruz Azul y Santos?

Se multiplican las probabilidades porque son eventos independientes en donde el resultado de un partido no afecta al resutaldo del otro partido.

P.America <- 0.3333
P.CruzAul <- 0.3333
P.Santos <- 0.3333

P.America.CruzAzul.Santos <- P.America * P.CruzAul* P.Santos
P.America.CruzAzul.Santos
## [1] 0.03702593
paste("La pobabilidd de que ganen los tres equipos es de ", round(P.America.CruzAzul.Santos * 100,2  ), "%")
## [1] "La pobabilidd de que ganen los tres equipos es de  3.7 %"

Ejercicio 5

Carlos tiene un mazo de 15 cartas numeradas del 1 al 15. Saca una carta al azar, ve el número, y la revuelve de nuevo en el mazo.

¿Cuál es la probabilidad de que NO le salga una carta menor o igual a 5 en el primer intento, pero que SI le salga una carta menor o igual a 5 en el segundo intento? Fuente: https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U12L2T2/TopicText/es/text.html

Se trata de eventos independiente porque la carta se devuelve.

\[ Probabilidad ,intento 1 = 2/3 \]

\[ Probabilidad ,intento 2=1/3 \]

Los eventos son independientes porque Carlos vuelve a poner la carta en el mazo cada vez,entonces la probabilidad de no sacar 5 o menos y luego sacar 5 o mas es de

\[ P(AyB)=P(A)⋅P(B) \]

\[ 2/3 * 1/3 = (2/9) \]

Interpretación

En este caso se muestran los eventos dependientes e independientes para conocer la probabilidad de algo.

También se dieron a conocer dos reglas Aditivas ,una de ellas se utiliza cuando A y B son dos conjuntos con eventos similares a estas se les llama Exculentes y cuando no existen elementos en común la formula separa los elementos de A y B siendo incluyentes ,en cada uno de los ejercicios realizados ademas de usar esas formulas ,se mostraron ejercicios con los los eventos dependientes ,estos si el resultado del primer evento afecta el resultado ,la probabilidad de esta automáticamente cambia y los eventos independientes dicen que si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primero ,la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

Claro lo visto en este caso se puede aplicar al querer conocer la probabilidad de algo y es una de mil formas que existen para conocer probabilidades.

Bibliografía

Data Science, Team. 2019. “DATA SCIENCE. Evento Mutuamente Excluyente.” https://datascience.eu/es/matematica-y-estadistica/evento-mutuamente-excluyente-definicion-ejemplos-sindicatos/.

HotMath. n.d. “HotMath.” https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/conditional-probability.

Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers, and Sharon L. Myers. 2012. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Novena Edición. México: Pearson.