Penjelasan Dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pada Bahasa Pemrograman R

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

1. Definisi Pertidaksamaan Linear

Apa yang kalian ketahui mengenai pertidaksamaan linear?

Jika diartikan per kata, pertidaksamaan linear tersusun dari dua kata yaitu “pertidaksamaan” dan “linear”.

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambang, ≥, dan ≤ . Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang , ≥, dan ≤. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).

Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu.

2. Definisi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Apakah kalian tahu apa itu pertidaksamaan linear satu variabel?

Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan bentuk pertidaksamaan dengan memuat satu peubah (variabel) dengan pangkat tertingginya adalah satu (linear).

Bentuk umum dari pertidaksamaan linear satu variabel yaitu sebagai berikut :

Bentuk Umum	Keterangan
ax + b > c	a : koefisien variabel x
ax + b < c	x : variabel
ax + b ≥ c	b, c : konstanta
ax + b ≤ c	<, >, ≤, ≥ : tanda pertidaksamaan

Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear :

a. Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurang dengan sebuah bilangan maka tanda pertidaksamaan tetap.

b. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan positif maka tanda pertidaksamaan tetap.

c. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan harus diubah (< menjadi >, ≤ menjadi ≥, dan sebaliknya

Contoh :

3x + 6 ≥ 2x – 5
5q – 1 < 0
x dan q disebut variabel

Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable :

Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.
Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.
Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik.
Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang.

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Penyelesaian secara manual:

3x – 7 > 2x + 2; dimana x adalah anggota himpunan dari {1, 2, 3, 4… 15}

3x– 7 –2x > 2x + 2 – 2x ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7 ( kedua ruas ditambah 7 )

x > 9

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh Soal dan Pembahasannya - Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3 dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian secara manual:

3x – 1 < x + 3

3x – 1+ 1 < x + 3 + 1 (kedua ruas ditambah 1 )

3x < x + 4

3x + (-x) < x + (-x) +4 (kedua ruas ditambah – x)

(2 < 4) (kedua ruas dikalikan)

x < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi adalah x < 2 adalah x = 0 dan x = 1.

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP = { 0,1 } .

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 7 < 3x – 5

Penyelesaian secara manual:

4 x -7<3 x -5

4 x -3 x<7-5

x<2

+ + + - - -

2

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 16 < x + 25

Penyelesaian secara manual:

2x + 16 <x + 25

2 x - x<25-16

x <9

+ + + - - -

9

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 ≤ 10x + 4

Penyelesaian secara manual:

7x – 1 ≤ 10x + 4

7 x-10 x≤1+4

-3 x ≤5

x ≤5/3

+ + + - - -

5/3

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 10x + 1 > 8x + 5

Penyelesaian secara manual:

10x – 8x > 5 – 1

2x > 4

x> 2

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pada 5 Soal Dibawah ini :

1. 4x – 7 < 3x – 5

2. 2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

3. x^2^ – 12 < 0

4. 3x^2^ - 11x - 4 0

5. x + 5/2x − 1 ≤ 0

\(Jawaban\)

1.Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x – 7 < 3x – 5

Penyelesaian secara manual:

4x -7 < 3x -5

4x - 3x < -5 + 7

x < 2

HP = { x < 2 }

Penyelesaian Menggunakan Tabel pada RStudio :

Kita dapat membuat suatu fungsi pada R untuk melakukan proses iterasi pada metode Tabel. Fungsi root_table() akan melakukan iterasi berdasarkan step algoritma 1 sampai 5. Berikut adalah sintaks yang digunakan :

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){ x<2},
                     a=-1, b=1.9, N=10)

print(tabel)

##        x fx
## 1  -1.00  1
## 2  -0.91  1
## 3  -0.82  1
## 4  -0.73  1
## 5  -0.64  1
## 6  -0.55  1
## 7  -0.46  1
## 8  -0.37  1
## 9  -0.28  1
## 10 -0.19  1
## 11 -0.10  1
## 12 -0.01  1
## 13  0.08  1
## 14  0.17  1
## 15  0.26  1
## 16  0.35  1
## 17  0.44  1
## 18  0.53  1
## 19  0.62  1
## 20  0.71  1
## 21  0.80  1
## 22  0.89  1
## 23  0.98  1
## 24  1.07  1
## 25  1.16  1
## 26  1.25  1
## 27  1.34  1
## 28  1.43  1
## 29  1.52  1
## 30  1.61  1
## 31  1.70  1
## 32  1.79  1
## 33  1.88  1

Penyelesaian Menggunakan Grafik pada RStudio :

# membuat vektor data 
    x <- c(-6:1); y <- x<2

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

2.Tentukan himpunan penyelesaian 2x – 4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

Penyelesaian secara manual:

Pembahasan :

2x - 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6

Kita lihat ruas kiri

2x - 4 ≤ 6 - 7x

⇔ 2x + 7x ≤ 6 + 4

⇔ 9x ≤ 10

⇔ x ≤ 10/9

Kita lihat ruas kanan

6 - 7x ≤ 3x + 6

⇔ -7x - 3x ≤ 6 - 6

⇔ -10x ≤ 0

⇔ x ≥ 0

Perhatikan gambar terlampir.

Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, yaitu : 0 ≤ x ≤ 10/9

Penyelesaian Menggunakan Tabel pada RStudio :

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){ x <= 10/9 },
                     a=0, b=1.1, N=10)

print(tabel)

##       x fx
## 1  0.00  1
## 2  0.11  1
## 3  0.22  1
## 4  0.33  1
## 5  0.44  1
## 6  0.55  1
## 7  0.66  1
## 8  0.77  1
## 9  0.88  1
## 10 0.99  1
## 11 1.10  1

Penyelesaian Menggunakan Grafik pada RStudio :

# membuat vektor data 
    x <- c(0:1.1); y <- x*0

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

3.Tentukan himpunan penyelesaian x² + x – 12 < 0

Penyelesaian secara manual:

Kita faktorkan

x² + x - 12 = 0

(x + 4)(x - 3) = 0

x + 4 = 0 atau x - 3 = 0

x = -4 | x = 3

HP = {-4, 3}.

Penyelesaian Menggunakan Tabel pada RStudio :

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){x*2 + x - 12 },
                     a=-4, b=0, N=20)

print(tabel)

##       x    fx
## 1  -4.0 -24.0
## 2  -3.8 -23.4
## 3  -3.6 -22.8
## 4  -3.4 -22.2
## 5  -3.2 -21.6
## 6  -3.0 -21.0
## 7  -2.8 -20.4
## 8  -2.6 -19.8
## 9  -2.4 -19.2
## 10 -2.2 -18.6
## 11 -2.0 -18.0
## 12 -1.8 -17.4
## 13 -1.6 -16.8
## 14 -1.4 -16.2
## 15 -1.2 -15.6
## 16 -1.0 -15.0
## 17 -0.8 -14.4
## 18 -0.6 -13.8
## 19 -0.4 -13.2
## 20 -0.2 -12.6
## 21  0.0 -12.0

Penyelesaian Menggunakan Grafik pada RStudio :

 # membuat vektor data 
    x <- c(-4:3); y <- x^2 + x - 12

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

4.Tentukan himpunan penyelesaian 3x² - 11x - 4 ≤ 0

Penyelesaian secara manual:

3x² - 11x - 4 = 0

(3x + 1) (x - 4) = 0

3x + 1 = 0

3x = 1

x = 1/3

x - 4 = 0

x = 4

HP = {1/3 , 4}

Penyelesaian Menggunakan Tabel pada RStudio :

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){ 3*x^2 - 11*x - 4},
                     a=0, b=4, N=10)

print(tabel)

##      x     fx
## 1  0.0  -4.00
## 2  0.4  -7.92
## 3  0.8 -10.88
## 4  1.2 -12.88
## 5  1.6 -13.92
## 6  2.0 -14.00
## 7  2.4 -13.12
## 8  2.8 -11.28
## 9  3.2  -8.48
## 10 3.6  -4.72
## 11 4.0   0.00

Penyelesaian Menggunakan Grafik pada RStudio :

# membuat vektor data 
    x <- c(-0.33:4); y <- 3*x^2 - 11*x - 4

   # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

5.Tentukan himpunan penyelesaian Tentukan himpunan penyelesaian ( x + 5 ) / ( 2x - 1 ) ≤ 0

Penyelesaian secara manual:

x+5/2x-1 < 0

pembilang =

x+5 = 0

x = 0-5

x = -5

penyebut =

2x-1 ≠ 0

2x ≠ 0+1

2x ≠ 1

x ≠ 1/2

hp = {x/-5<x<1/2, x ∈ R}

Penyelesaian Menggunakan Tabel pada RStudio :

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){x+5/2*x-1},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)

##       x     fx
## 1  -5.0 -18.50
## 2  -4.5 -16.75
## 3  -4.0 -15.00
## 4  -3.5 -13.25
## 5  -3.0 -11.50
## 6  -2.5  -9.75
## 7  -2.0  -8.00
## 8  -1.5  -6.25
## 9  -1.0  -4.50
## 10 -0.5  -2.75
## 11  0.0  -1.00

Penyelesaian Menggunakan Grafik pada RStudio :

 # membuat vektor data 
    x <- c(-5:1.5); y <- x+5/2*x-1

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

\(Referensi\)

Suhartono. 2015. Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang : UIN Maliki Malang.
https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/rootfinding.html
https://www.dosenpendidikan.co.id/pertidaksamaan-linear-satu-variabel/
https://rumuspintar.com/pertidaksamaan-linear/

Penjelasan Dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pada Bahasa Pemrograman R

Shafira Halmahera

12/10/2021

1. Definisi Pertidaksamaan Linear

Apa yang kalian ketahui mengenai pertidaksamaan linear?

2. Definisi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Apakah kalian tahu apa itu pertidaksamaan linear satu variabel?

Bentuk umum dari pertidaksamaan linear satu variabel yaitu sebagai berikut :

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pada 5 Soal Dibawah ini :

\(Jawaban\)

\(Referensi\)