Pertidaksamaan Linier Satu Variabel Pada RStudio

Mata Kuliah : Kalkulus

Prodi : Teknik Informatika

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing, ≥, dan ≤ . Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang , ≥, dan ≤. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah). Cara menyelesaikan pertidaksamaan linier satu variable :

 

A. Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

B. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

C. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik.

D.Jikapertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang.

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Penyelesaian secara manual:

3x – 7 > 2x + 2; dimana x adalah anggota himpunan dari {1, 2, 3, 4… 15} 3x– 7 –2x > 2x +
2 – 2x ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7 ( kedua ruas ditambah
7 )

x > 9

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 7 < 3x –5

 

Penyelesaian secara manual:
4 x -7<3 x -5

4 x -3 x<7-5

 x<2

 + + +   - - - 

2

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 16 < x + 25

Penyelesaian secara manual:
2x + 16
<x + 25

2 x - x<25-16

x <9

+ + + - - -

9

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 7x – 1 ≤ 10x + 4

 

Penyelesaian secara manual:
7x – 1 ≤ 10x + 4

7 x-10 x≤1+4

-3 x ≤5
x
≤5/3

+ + +   - - -

5/3

Contoh Soal dan Pembahasannya.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 6x – 10 ≥ 5x – 16

Penyelesaian secara manual:
6x – 10 ≥ 5x – 16

6 x-5 x≥10-16

 

x ≥-6

 

- - - + + +

 

Soal – soal kerjakan secara manual dan menggunakan software Wolfram Mathematica :

 

1. 4x –7 < 3x – 5
2. 2x –4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

-6

Soal – soal dan penyelesaiannya menggunakan Fungsi Plot() Pada RSTUDIO

1. 4x –7 < 3x – 5
2. 2x –4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6
3. x² + x – 12 < 0
4. 3x² - 11x - 4≤ 0
5. x + 5/2x − 1 ≤ 0

Untuk mengerjakan soal diatas kita bisa menggunakan fungsi root untuk membuat tabel dan fungsi bar plot() untuk menyatakan grafik.

Kita dapat membuat suatu fungsi pada R untuk melakukan proses iterasi pada metode Tabel. Fungsi root_table() akan melakukan iterasi berdasarkan step algoritma 1 sampai 5. Berikut adalah sintaks yang digunakan:

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

Contoh 7.1 Carilah akar persamaan \(f\left(x \right)=x+e^{x}\) pada rentang \(x=\left[-1,0 \right]\)?

Jawab:

Sebagai permulaan, jumlah pembagi yang digunakan adalah \(N=10\). Dengan menggunakan fungsi root_table() diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel 7.1.

tabel <- root_table(f=function(x){x+exp(x)},
                     a=-1, b=0, N=10)

Tabel 7.1: Penyelesaian persamaan x+exp(x)=0

x	fx
-1.0	-0.6321
-0.9	-0.4934
-0.8	-0.3507
-0.7	-0.2034
-0.6	-0.0512
-0.5	0.1065
-0.4	0.2703
-0.3	0.4408
-0.2	0.6187
-0.1	0.8048
0.0	1.0000

Berdasarkan Tabel 7.1 diperoleh penyelesaian di antara \(-0,6\) dan \(-0,5\) dengan nilai \(f\left(x \right)\) masing-masing sebesar \(-0,0512\) dan \(-0,1065\), sehingga dapat diambil penyelesaian \(x=-0,6\). Kita dapat terus melakukan iterasi sampai memperoleh nilai \(f\left(x \right)\) < nilai toleransi dengan terus merubah rentang yang diberikan. Iterasi berikutnya dengan nilai pembagi sama dan rentang nilai \(x=\left[-0,6;-0,5\right]\) diperoleh nilai \(x=-0,57\) dan \(f\left(x \right)=0,00447\).

Untuk melihat gambaran lokasi akar, kita dapat pulang mengeplotkan data menggunakan fungsi plot. Berikut adalah fungsi yang digunakan:

Plot fungsi x+exp(x) pada rentang -1 sampai 0.

Gambar 7.4: Plot fungsi x+exp(x) pada rentang -1 sampai 0.

Untuk mengetahui lokasi akar dengan lebih jelas, kita dapat memperkecil lagi rentang nilai yang dimasukkan dalam fungsi curve().

Metode tabel pada dasarnya memiliki kelemahan yaitu cukup sulit untuk memdapatkan error penyelesaian yang cukup kecil, sehingga metode ini jarang sekali digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linier. Namun, metode ini cukup baik digunakan dalam menentukan area penyelesaian sehingga dapat dijadikan acuan metode lain yang lebih baik.

SOAL 1

4x –7 < 3x – 5

= x < 2

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){ x<2},
                     a=-1, b=1.9, N=10)

print(tabel)

##        x fx
## 1  -1.00  1
## 2  -0.91  1
## 3  -0.82  1
## 4  -0.73  1
## 5  -0.64  1
## 6  -0.55  1
## 7  -0.46  1
## 8  -0.37  1
## 9  -0.28  1
## 10 -0.19  1
## 11 -0.10  1
## 12 -0.01  1
## 13  0.08  1
## 14  0.17  1
## 15  0.26  1
## 16  0.35  1
## 17  0.44  1
## 18  0.53  1
## 19  0.62  1
## 20  0.71  1
## 21  0.80  1
## 22  0.89  1
## 23  0.98  1
## 24  1.07  1
## 25  1.16  1
## 26  1.25  1
## 27  1.34  1
## 28  1.43  1
## 29  1.52  1
## 30  1.61  1
## 31  1.70  1
## 32  1.79  1
## 33  1.88  1

 # membuat vektor data 
    x <- c(-6:1); y <- x<2

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

SOAL 2

2x –4 ≤ 6 – 7x ≤ 3x + 6

#Pembahasan :
2x - 4 ≤ 6 - 7x ≤ 3x + 6
Kita lihat ruas kiri
2x - 4 ≤ 6 - 7x
⇔ 2x + 7x ≤ 6 + 4
⇔ 9x ≤ 10
⇔ x ≤ 10/9
Kita lihat ruas kanan
6 - 7x ≤ 3x + 6
⇔ -7x - 3x ≤ 6 - 6
⇔ -10x ≤ 0
⇔ x ≥ 0
Perhatikan gambar terlampir.
Penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut, yaitu :
0 ≤ x ≤ 10/9

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){ x <= 10/9 },
                     a=0, b=1.1, N=10)

print(tabel)

##       x fx
## 1  0.00  1
## 2  0.11  1
## 3  0.22  1
## 4  0.33  1
## 5  0.44  1
## 6  0.55  1
## 7  0.66  1
## 8  0.77  1
## 9  0.88  1
## 10 0.99  1
## 11 1.10  1

 # membuat vektor data 
    x <- c(0:1.1); y <- x*0

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

SOAL 3

x² + x - 12 = 0

Penyelesaian Soal

Himpunan penyelesaian persamaan x² + x - 12 = 0

Kita faktorkan

x² + x - 12 = 0

(x + 4)(x - 3) = 0

x + 4 = 0   atau x - 3 = 0

x = -4                      x = 3
HP = {-4, 3}.

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){x*2 + x - 12 },
                     a=-4, b=0, N=20)

print(tabel)

##       x    fx
## 1  -4.0 -24.0
## 2  -3.8 -23.4
## 3  -3.6 -22.8
## 4  -3.4 -22.2
## 5  -3.2 -21.6
## 6  -3.0 -21.0
## 7  -2.8 -20.4
## 8  -2.6 -19.8
## 9  -2.4 -19.2
## 10 -2.2 -18.6
## 11 -2.0 -18.0
## 12 -1.8 -17.4
## 13 -1.6 -16.8
## 14 -1.4 -16.2
## 15 -1.2 -15.6
## 16 -1.0 -15.0
## 17 -0.8 -14.4
## 18 -0.6 -13.8
## 19 -0.4 -13.2
## 20 -0.2 -12.6
## 21  0.0 -12.0

 # membuat vektor data 
    x <- c(-4:3); y <- x^2 + x - 12

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

Soal 4

3x² - 11x - 4 ≤ 0

Penyelesaian Soal:

Himpunan penyelesaian persamaan 3x² - 11x - 4 ≤ 0
(3x +1)(x -4) ≤ 0
x ≤ 4 atau x ≥ - 1/3

Hp= -1/3 ≤ x ≤ 4
Hp= -0.33 ≤ x ≤ 4

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){ 3*x^2 - 11*x - 4},
                     a=0, b=4, N=10)

print(tabel)

##      x     fx
## 1  0.0  -4.00
## 2  0.4  -7.92
## 3  0.8 -10.88
## 4  1.2 -12.88
## 5  1.6 -13.92
## 6  2.0 -14.00
## 7  2.4 -13.12
## 8  2.8 -11.28
## 9  3.2  -8.48
## 10 3.6  -4.72
## 11 4.0   0.00

 # membuat vektor data 
    x <- c(-0.33:4); y <- 3*x^2 - 11*x - 4

   # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

SOAL 5

x+5/2x-1 < 0

Pengelesaian Soal: 

x+5/2x-1 <= 0
pembilang =
   x+5 = 0
   x = 0-5
   x = -5
penyebut =
2x-1 ≠ 0
   2x ≠ 0+1
   2x ≠ 1
    x ≠ 1/2
hp = {x/-5<x<1/2, x ∈ R}

root_table <- function(f, a, b, N=20){
    h <- abs((a+b)/N)
    x <- seq(from=a, to=b, by=h)
    fx <- rep(0, N+1)
    for(i in 1:(N+1)){
      fx[i] <- f(x[i])
    }
    data <- data.frame(x=x, fx=fx)
    return(data)
}

tabel <- root_table(f=function(x){x+5/2*x-1},
                     a=-5, b=0, N=10)

print(tabel)

##       x     fx
## 1  -5.0 -18.50
## 2  -4.5 -16.75
## 3  -4.0 -15.00
## 4  -3.5 -13.25
## 5  -3.0 -11.50
## 6  -2.5  -9.75
## 7  -2.0  -8.00
## 8  -1.5  -6.25
## 9  -1.0  -4.50
## 10 -0.5  -2.75
## 11  0.0  -1.00

 # membuat vektor data 
    x <- c(-5:1.5); y <- x+5/2*x-1

    # membagi jendela grafik menajdi 1 baris dan 1 kolom
    par(mfrow=c(1,1))

    # output
    plot(x, y, type="l")

REFERENSI

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/dataviz.html#plotfunc

https://www.google.com/searchq=x+%2B+5%2F2x+%E2%88%92+1+%E2%89%A4+0&oq=x+%2B+5%2F2x+%E2%88%92+1+%E2%89%A4+0&aqs=chrome..69i57j0i22i30l7j0i10i22i30l2.1120j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/11/contoh-grafik-himpunan-penyelesaian-sistem-pertidaksamaan-linier-satu-variabel.html