Problemas de optimización

Tengamos en cuenta que en estadística o bueno en las matemática, hablamos que la optimización matemática (o bien, optimización o programación matemática) es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles. La investigación operativa es uno de los campos de la matemática que sus bases son la optimización.

En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los “mejores valores” de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

Optimización hace referencia a la acción y efecto de optimizar. En términos generales, se refiere a la capacidad de hacer o resolver alguna cosa de la manera más eficiente posible y, en el mejor de los casos, utilizando la menor cantidad de recursos.

En las últimas décadas, el término optimización se ha vinculado al mundo de la informática. Sin embargo, es un concepto que también se utiliza en las matemáticas, en la gestión de procesos y la economía.

Problema 1

El 7 de mayo de 1992 el transbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad fue instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo de un satélite Intelsat de comunicaciones. En la tabla siguiente se dan los datos de la velocidad del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido.

Suceso Tiempo (s) Velocidad (pies/s)
Lanzamiento 0 0
Inicio de maniobra de giro 10 185
Fin de maniobra de giro 15 319
Válvula de estrangulación a 89% 20 447
Válvula de estrangulación a 67% 32 742
Válvula de estrangulación a 104% 59 1325
Presión dinámica máxima 62 1445
Separación de los cohetes auxiliares de combustible sólido 125 4151

  1. En R gráfique y usando la función poly() para hallar el polinomio cúbico que modele de la mejor manera la velocidad del transbordador para el intervalo de tiempo $t$. A continuación, dibuje esta función polinomial.

  2. Usando los métodos conocidos en clase para estime los valores máximos y mínimos de la aceleración durante los primeros 125 segundos.

Problema 2

Entre 0º C y 30º C, el volumen \(V\) (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura \(T\), está dado aproximadamente por la fórmula

\[V =999.87 -0.06426 T+0.0085043T^2-0.0000679T^3\]

Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima.

Problema 3

Un objeto con peso \(W\) es arrastrado a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a través de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo

\[F=\frac{\mu W}{\mu \sin \theta +\cos \theta}\]

donde \(\mu\) es una constante positiva llamada el coeficiente de fricción y donde \(\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\). Demuestre que \(F\) es minimizada cuando \(\tan \theta=\mu\). Use algunos estimadores para \(mu\) que usted considere.

Problema 4

La lluvia es esencial para que crezcan las cosechas, pero demasiada lluvia puede disminuir la producción. Los datos siguientes dan la lluvia y producción de algodón por acre para varias estaciones en cierto condado.

  1. Haga una gráfica de dispersión de los datos. ¿Qué grado de la función polinomial parece ser apropiado para modelar los datos? (use la funciñon poly())

  2. Use el modelo que haya encontrado para estimar la producción si hay 25 pulgadas de lluvia.

  3. Use el modelo que haya encontrado para estimar la producción máxima teniendo en cuenta el nivel de lluvías.

Estación Lluvia (pulg.) Producción (kg/acre)
1 23.3 5311
2 20.1 4382
3 18.1 3950
4 12.5 3137
5 30.9 5113
6 33.6 4814
7 35.8 3540
8 15.5 3850
9 27.6 5071
10 34.5 3881