Tablas de Frecuencias
Lina Buitrago PhD(c), labuitragor@unal.edu.co
Juan Sosa PhD, jcsosam@unal.edu.co
1 Introducción
Las tablas de frecuencias:
- Constituyen una de las maneras más útiles y sencillas de describir variables.
- Permiten identificar características relevantes como los valores más y menos frecuentes de la variable, por ejemplo.
- Se pueden utilizar para analizar variables en cualquier escala de medición, pero resultan poco aprovechables si el rango de posibles valores que puede asumir la variable es muy amplio.
2 Tablas de clasificación a una vía
- Considerar el conjunto de datos \(x_1,\ldots,x_n\) de una variable \(X\) sin agrupar.
- \(n\): número de casos en estudio.
- \(C_1,\ldots,C_m\): clases (categorías) de la variable.
- \(m\): número de clases.
2.1 Frecuencias absolutas
La frecuencia absoluta \(n_j\) de la clase \(C_j\), es la cantidad de observaciones que hacen parte de la \(j\)-ésima categoría para \(j=1,\ldots,m\).
Propiedades
- \(0\leq n_j\leq n\)
- \(\displaystyle\sum_{j=1}^{m}n_j=n\)
2.2 Frecuencias relativas
La frecuencias relativa \(h_j\) de la clase \(C_j\), es la proporción de casos que hacen parte de la \(j\)-ésima categoría para \(j=1,\ldots,m\).
\[h_j=\frac{n_j}{n}\]
Propiedades
- \(0\leq h_j\leq 1\)
- \(\displaystyle \sum_{j=1}^{m}h_j=1\)
2.3 Ejemplo
En un proceso de control de calidad, durante un periodo de tiempo determinado, se tiene un conjunto de 7,614 lotes de cien resistencias (resistores) cada uno. Para cada lote se registra el número de resistencias con algún tipo de inconformidad, obteniéndose los resultados de la tabla que se presenta a continuación. Completar la tabla de frecuencias.
| Clase | F. Absoluta | F. Relativa |
|---|---|---|
| 0 | 145 | |
| 1 | 2415 | |
| 2 | 3456 | |
| 3 | 852 | |
| 4 | 0.0603 | |
| 5 | 157 | |
| 6 | ||
| Total | 7,614 |
# tamaño de la muestra
n <- 7614
# frecuencia absoluta clase 4
n_4 <- 0.0603*n
print(n_4)## [1] 459.1242# frecuencia absoluta clase 6
n_6 <- n - (145 + 2415 + 3456 + 852 + 459 + 157)
print(n_6)## [1] 130# frecuencias absolutas
nj <- c(145, 2415, 3456, 852, 459, 157, 130)
# frecuencias relativas
hj <- nj/n
print(hj)## [1] 0.01904387 0.31717888 0.45390071 0.11189913 0.06028369 0.02061991 0.017073812.4 Análisis gráfico
En general las variables categóricas y las cuantitativas discretas se grafican por medio de diagramas de barras:
- Eje \(x\): categorías de la característica observada.
- Eje \(y\): frecuencia absoluta o frecuencia relativa.
2.5 Ejemplo
Graficar las frecuencias relativas del ejemplo de las resistencias.
# tamaño de la muestra
n <- 7614
# frecuencias absolutas
nj <- c(145, 2415, 3456, 852, 459, 157, 130)
names(nj) <- 0:6
barplot(nj)
# frecuencias relativas
hj <- nj/n
barplot(hj)
2.6 Frecuencia absoluta acumulada
Las frecuencias acumuladas se calculan para variables que estén medidas al menos en escala ordinal.
La frecuencia absoluta acumulada \(N_j\) de la clase \(C_j\) es la cantidad de individuos cuya modalidad es inferior o igual a la \(j\)-ésima categoría:
\[ N_j = \sum_{k=1}^{j} n_k \]
Propiedades
- \(N_1=n_1\)
- \(N_m=n\)
- \(N_1\leq N_2\leq\ldots\leq N_m\)
2.7 Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada \(H_j\) de la clase \(C_j\) es la proporción de individuos cuya modalidad es inferior o igual a la \(j\)-ésima categoría:
\[ H_j = \sum_{k=1}^{j} h_k = \frac{N_j}{n} \]
Propiedades
- \(H_1=h_1\)
- \(H_m=1\)
- \(H_1\leq H_2\leq\ldots\leq H_m\)
2.8 Distribución de frecuencias
Se llama distribución de frecuencias a la tabla que contiene las categorías junto con las frecuencias correspondientes.
| Clase | F. Absoluta | F. Relativa | F. Abs. Acumulada | F. Rel. Acumulada |
|---|---|---|---|---|
| \(C_1\) | \(n_1\) | \(h_1\) | \(N_1\) | \(H_1\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(C_m\) | \(n_m\) | \(h_m\) | \(n\) | \(1\) |
| Total | \(n\) | 1 | N.A. | N.A. |
2.8.1 Ejemplo
Considerar el siguiente conjunto de datos asociados con el nivel educativo de una muestra de empleados (Bachillerato (B), Pregrado (P), Maestría (M), y Doctorado (D)). Elaborar la tabla de frecuencias correspondiente.
B, D, M, B, B, P, B, M, B, B, B, P, B, M, B, B, M, B, M, B, B, B, B, B, B, B, P, B, B, B, B, M, B, P, B, B, M, B, B, B, D, B, M, B, P, B, B, B, P, P
| Clase | F. Absoluta | F. Relativa | F. Abs. Acumulada | F. Rel. Acumulada |
|---|---|---|---|---|
| Bachillerato | 33 | 66.0% | 33 | 66.0% |
| Pregrado | 7 | 14.0% | 40 | 80.0% |
| Maestría | 8 | 16.0% | 48 | 96.0% |
| Doctorado | 2 | 4.0% | 50 | 100% |
| Total | 50 | 100% | N.A. | N.A. |
# datos
edu <- c("B", "D", "M", "B", "B", "P", "B", "M", "B", "B", "B", "P", "B", "M",
"B", "B", "M", "B", "M", "B", "B", "B", "B", "B", "B", "B", "P", "B",
"B", "B", "B", "M", "B", "P", "B", "B", "M", "B", "B", "B", "D", "B",
"M", "B", "P", "B", "B", "B", "P", "P")
# tamaño de la muestra
n <- length(edu)
print(n)## [1] 50# frecuencias absolutas
nj <- table(edu)
nj <- nj[c(1, 4, 3, 2)]
print(nj)## edu
## B P M D
## 33 7 8 2# frecuencias relativas
hj <- nj/n
print(hj)## edu
## B P M D
## 0.66 0.14 0.16 0.04# frecuencias absolutas acumuladas
Nj <- cumsum(nj)
print(Nj)## B P M D
## 33 40 48 50# frecuencias relativas acumuladas
Hj <- cumsum(hj)
print(Hj)## B P M D
## 0.66 0.80 0.96 1.002.9 Variables cuantitativas
Cuando no se tienen directamente las \(m\) clases para elaborar la tabla de distribución de frecuencias se acostumbra definir las clases (intervalos) de la siguiente manera:
- Seleccionar el número de clases \(m\). Para tal fin se distinguen tres alternativas:
- Elegir \(m\) arbitrariamente o teniendo en cuenta alguna consideración previa.
- Regla empírica: \(m \approx \sqrt{n}\) (no es recomendable para muestras grandes).
- Regla de Sturges: \(m \approx 1 + 3\text{.}3 \log (n)\).
- Calcular el mínimo y el máximo de la variable: \(x_{\min} = \{x_1,\ldots,x_n\}\) y \(x_{\max} = \{x_1,\ldots,x_n\}\), respectivamente.
- Calcular el rango de la variable: \(R = x_{\max} - x_{\min}\).
- Calcular la amplitud de las clases: \(a =\frac{R}{m}\).
- Definir las clases: \(C_j = \{x: l_{j-1} < x \leq l_j\}\) con \(l_{j}=l_{j-1} + a\) para \(j=1,\ldots,m\), donde \(l_0 = x_\min\).
2.10 Ejemplo
Los siguientes datos están asociados con el peso (kg) de un conjunto de materiales. Elaborar la distribución de frecuencias correspondiente.
103.1, 82.1, 106.2, 100.9, 91.8 , 96.1 , 126.9, 119.8, 93.1, 86.8, 75.2, 93.0 , 82.3 , 94.8, 64.2 , 105.3, 108.0, 86.3 , 81.8 , 138.1, 92.5, 66.3, 66.6, 142.2, 96.5 , 74.8, 95.4 , 100.1, 81.9 , 112.0, 116.8, 103.2, 66.1, 60.4, 78.7
La variable “peso” es una variable cuantitativa de razón. Es claro que esta variable no está dada en categorías, por lo que es necesario elaborar las clases pertinentes como sigue:
- Se eligen \(m=6\) clases dado que \(\sqrt{35} = 5\text{.}916 \approx 6\) y \(1 + 3\text{.}3 \log_{10} (35) = 6\text{.}095 \approx 6\).
- \(x_{\min} = 60\text{.}4\) y \(x_{\max} = 142\text{.}2\).
- \(R = x_{\max} - x_{\min} = 142\text{.}2 - 60\text{.}4 = 81\text{.}8\).
- \(a = 81\text{.}8/6 = 13\text{.}63\).
- Las clases resultantes son:
- \(C_1 = \{x: l_0 \leq x \leq l_1\}\) donde \(l_0 = 60\text{.}40\) y \(l_1= 60\text{.}40 + 13\text{.}63 = 74\text{.}03\).
- \(C_2 = \{x: l_1 < x \leq l_2\}\) donde \(l_2=74\text{.}03 + 13\text{.}63 = 87\text{.}67\).
- \(C_3 = \{x: l_2 < x \leq l_3\}\) donde \(l_3=87\text{.}67 + 13\text{.}63 = 101\text{.}30\).
- \(C_4 = \{x: l_3 < x \leq l_4\}\) donde \(l_4=101\text{.}30 + 13\text{.}63 = 114\text{.}93\).
- \(C_5 = \{x: l_4 < x \leq l_5\}\) donde \(l_5=114\text{.}93 + 13\text{.}63 = 128\text{.}57\).
- \(C_6 = \{x: l_5 < x \leq l_6\}\) donde \(l_6=128\text{.}57 + 13\text{.}63 = 142\text{.}20\).
Así, la distribución de frecuencias está dada por:.
| Clase | F. Absoluta | F. Relativa | F. Abs. Acumulada | F. Rel. Acumulada |
|---|---|---|---|---|
| \([60\text{.}40 ; 74\text{.}03]\) | 5 | 14.3% | 5 | 14.3% |
| \((74\text{.}03 ; 87\text{.}67]\) | 9 | 25.7% | 14 | 40.0% |
| \((87\text{.}67 ; 101\text{.}30]\) | 10 | 28.6% | 24 | 68.6% |
| \((101\text{.}30 ; 114\text{.}93]\) | 6 | 17.1% | 30 | 85.7% |
| \((114\text{.}93 ; 128\text{.}57]\) | 3 | 8.6% | 33 | 94.3% |
| \((128\text{.}57 ; 142\text{.}20]\) | 2 | 5.7% | 35 | 100% |
| Total | 35 | 100% | N.A | N.A |
# datos
peso<- c(103.1, 82.1, 106.2, 100.9, 91.8, 96.1, 126.9, 119.8, 93.1, 86.8, 75.2, 93.0,
82.3, 94.8, 64.2, 105.3, 108.0, 86.3, 81.8, 138.1, 92.5, 66.3, 66.6, 142.2,
96.5, 74.8, 95.4, 100.1, 81.9, 112.0, 116.8, 103.2, 66.1, 60.4, 78.7)
# tamaño de la muestra
n <- length(peso)
print(n)## [1] 35# numero de intervalos
m <- round(1 + 3.3*log(n, base = 10))
print(m)## [1] 6# rango
R <- max(peso) - min(peso)
print(R)## [1] 81.8# amplitud
a <- R/m
print(a)## [1] 13.63333# limites
lim <- min(peso) + (0:m)*a
print(lim)## [1] 60.40000 74.03333 87.66667 101.30000 114.93333 128.56667 142.20000# frecuencias absolutas
nj <- table(cut(x = peso, breaks = lim, include.lowest = T))
print(nj)##
## [60.4,74] (74,87.7] (87.7,101] (101,115] (115,129] (129,142]
## 5 9 10 6 3 2# frecuencias relativas
hj <- nj/n
print(hj)##
## [60.4,74] (74,87.7] (87.7,101] (101,115] (115,129] (129,142]
## 0.14285714 0.25714286 0.28571429 0.17142857 0.08571429 0.05714286# frecuencias absolutas acumuladas
Nj <- cumsum(nj)
print(Nj)## [60.4,74] (74,87.7] (87.7,101] (101,115] (115,129] (129,142]
## 5 14 24 30 33 35# frecuencias relativas acumuladas
Hj <- cumsum(hj)
print(Hj)## [60.4,74] (74,87.7] (87.7,101] (101,115] (115,129] (129,142]
## 0.1428571 0.4000000 0.6857143 0.8571429 0.9428571 1.0000000