1 .Planteamiento 9

Análisis y diseño de Experimentos de Humberto Gutierrez Pulido.

En una empresa de electrónica, una máquina toma componentes que le proporciona un alimentador para montarlos o depositarlos en una tarjeta. Se ha tenido el problema de que la máquina falla en sus intentos por tomar el componente, lo cual causa paros de la máquina que detienen el proceso hasta que el operador se da cuenta y reinicia el proceso. Para diagnosticar mejor la situación se decide correr un diseño de experimentos \(2^4\) con n = 2 réplicas, en el que se tienen los siguientes factores y niveles (–, +),respectivamente: A) Velocidad de cam (70%, 100%), B) Velocidad de mesa (media, alta), C) Orden o secuencia de colocación (continua, variable), D) Alimentador(1, 2). Como el proceso es muy rápido, es necesario dejarlo operar en cada condición experimental el tiempo suficiente para reproducir el problema. Se consideró que esto se lograba con suficiente confianza con 500 componentes; por ello, cada una de las corridas experimentales consistió en colocar 500 componentes, y se midieron dos variables de respuesta: Y1 = número de errores (o intentos fallidos), y Y2 = tiempo real (en segundos) para tomar y “colocar” los 500 componentes. Es evidente que se quieren minimizar ambas variables. (Pulido & Vara Salazar, 2012) (Pulido, De la Vara Salazar, González, Martı́nez, & Pérez, 2012)
Los datos que obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Factor Factor Factor Factor Réplica 1 Réplica 2
A B C D Y1 Y2 Y1 Y2
-1 -1 -1 -1 61 88 50 79
+1 -1 -1 -1 105 78 98 74
-1 +1 -1 -1 61 82 40 82
+1 +1 -1 -1 104 73 145 79
-1 -1 +1 -1 0 88 35 100
+1 -1 +1 -1 35 84 22 82
-1 +1 +1 -1 50 89 37 88
+1 +1 +1 -1 57 79 71 81
-1 -1 -1 +1 12 77 19 75
+1 -1 -1 +1 60 66 57 64
-1 +1 -1 +1 9 84 19 73
+1 +1 -1 +1 72 93 61 66
-1 -1 +1 +1 0 86 0 82
+1 -1 +1 +1 10 76 1 77
-1 +1 +1 +1 3 84 7 86
+1 +1 +1 +1 15 75 15 73
  1. Al observar los datos obtenidos, se deduce que hay algunos tratamientos que tienen pocos o ningún componente caídos, como por ejemplo el (–1, –1, +1, +1); alguien muy “práctico” decidiría poner la máquina a operar bajo estas condiciones y olvidarse del análisis estadístico. De proceder así, explique qué información se perdería.
  2. Investigue qué efectos influyen de manera significativa sobre Y1 (apóyese en Pareto y ANOVA).
  3. Obtenga el mejor ANOVA.
  4. Si en el análisis anterior encuentra alguna interacción significativa, analice con detalle la más importante e interprete en términos físicos.
  5. ¿Qué tratamiento minimiza Y1?
  6. Ahora investigue qué efectos influyen de manera relevante sobre Y2.
  7. ¿Qué tratamiento minimiza Y2?
  8. Encuentre una condición satisfactoria tanto para minimizar Y1 como Y2.
  9. De los análisis de varianza para Y1 y Y2 observe el coeficiente R2. ¿Qué concluye de ello?
  10. Verifique residuos.

Adquisición de datos:

library(readxl)
library(FrF2)
datos= read.table("dataset.txt", header =TRUE) 
str(datos)
## 'data.frame':    32 obs. of  6 variables:
##  $ A : int  -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
##  $ B : int  -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
##  $ C : int  -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
##  $ D : int  -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 ...
##  $ Y1: int  61 105 61 104 0 35 50 57 12 60 ...
##  $ Y2: int  88 78 82 73 88 84 89 79 77 66 ...
attach(datos)
head(datos, n= 32L)
##     A  B  C  D  Y1  Y2
## 1  -1 -1 -1 -1  61  88
## 2   1 -1 -1 -1 105  78
## 3  -1  1 -1 -1  61  82
## 4   1  1 -1 -1 104  73
## 5  -1 -1  1 -1   0  88
## 6   1 -1  1 -1  35  84
## 7  -1  1  1 -1  50  89
## 8   1  1  1 -1  57  79
## 9  -1 -1 -1  1  12  77
## 10  1 -1 -1  1  60  66
## 11 -1  1 -1  1   9  84
## 12  1  1 -1  1  72  93
## 13 -1 -1  1  1   0  86
## 14  1 -1  1  1  10  76
## 15 -1  1  1  1   3  84
## 16  1  1  1  1  15  75
## 17 -1 -1 -1 -1  50  79
## 18  1 -1 -1 -1  98  74
## 19 -1  1 -1 -1  40  82
## 20  1  1 -1 -1 145  79
## 21 -1 -1  1 -1  35 100
## 22  1 -1  1 -1  22  82
## 23 -1  1  1 -1  37  88
## 24  1  1  1 -1  71  81
## 25 -1 -1 -1  1  19  75
## 26  1 -1 -1  1  57  64
## 27 -1  1 -1  1  19  73
## 28  1  1 -1  1  61  66
## 29 -1 -1  1  1   0  82
## 30  1 -1  1  1   1  77
## 31 -1  1  1  1   7  86
## 32  1  1  1  1  15  73

Variables:

f_A=factor(A)
f_B=factor(B)
f_C=factor(C)
f_D=factor(D)

1.1 .Inciso a.

Al observar los datos obtenidos, se deduce que hay algunos tratamientos que tienen pocos o ningún componente caídos, como por ejemplo el (–1, –1, +1, +1); alguien muy “práctico” decidiría poner la máquina a operar bajo estas condiciones y olvidarse del análisis estadístico. De proceder así, explique qué información se perdería.

La información que se perdería son los resultados respecto a los factores que afectan a la variable y por lo tanto, los defectos tanto como el tiempo aumentarian ya que el problema no se solucionaría.

Modelos de ambas variables:

modeloY1=lm(Y1~(f_A+f_B+f_C+f_D+f_A*f_B+f_A*f_C+f_A*f_D+f_B*f_C+f_B*f_D+f_C*f_D+f_A*f_B*f_C+f_A*f_B*f_C*f_D))
summary(modeloY1)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Y1 ~ (f_A + f_B + f_C + f_D + f_A * f_B + 
##     f_A * f_C + f_A * f_D + f_B * f_C + f_B * f_D + f_C * f_D + 
##     f_A * f_B * f_C + f_A * f_B * f_C * f_D))
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -20.500  -5.125   0.000   5.125  20.500 
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           55.500      8.317   6.673 5.35e-06 ***
## f_A1                  46.000     11.762   3.911  0.00124 ** 
## f_B1                  -5.000     11.762  -0.425  0.67643    
## f_C1                 -38.000     11.762  -3.231  0.00523 ** 
## f_D1                 -40.000     11.762  -3.401  0.00365 ** 
## f_A1:f_B1             28.000     16.634   1.683  0.11172    
## f_A1:f_C1            -35.000     16.634  -2.104  0.05153 .  
## f_A1:f_D1             -3.000     16.634  -0.180  0.85914    
## f_B1:f_C1             31.000     16.634   1.864  0.08083 .  
## f_B1:f_D1              3.500     16.634   0.210  0.83600    
## f_C1:f_D1             22.500     16.634   1.353  0.19497    
## f_A1:f_B1:f_C1       -18.500     23.524  -0.786  0.44311    
## f_A1:f_B1:f_D1       -18.500     23.524  -0.786  0.44311    
## f_A1:f_C1:f_D1        -2.500     23.524  -0.106  0.91669    
## f_B1:f_C1:f_D1       -24.500     23.524  -1.041  0.31313    
## f_A1:f_B1:f_C1:f_D1   13.500     33.268   0.406  0.69027    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11.76 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9461, Adjusted R-squared:  0.8955 
## F-statistic: 18.72 on 15 and 16 DF,  p-value: 2.305e-07
modeloY2=lm(Y2~(f_A+f_B+f_C+f_D+f_A*f_B+f_A*f_C+f_A*f_D+f_B*f_C+f_B*f_D+f_C*f_D+f_A*f_B*f_C+f_A*f_B*f_C*f_D))
summary(modeloY2)
## 
## Call:
## lm.default(formula = Y2 ~ (f_A + f_B + f_C + f_D + f_A * f_B + 
##     f_A * f_C + f_A * f_D + f_B * f_C + f_B * f_D + f_C * f_D + 
##     f_A * f_B * f_C + f_A * f_B * f_C * f_D))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -13.5   -1.0    0.0    1.0   13.5 
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           83.500      4.274  19.538 1.37e-12 ***
## f_A1                  -7.500      6.044  -1.241    0.233    
## f_B1                  -1.500      6.044  -0.248    0.807    
## f_C1                  10.500      6.044   1.737    0.102    
## f_D1                  -7.500      6.044  -1.241    0.233    
## f_A1:f_B1              1.500      8.548   0.175    0.863    
## f_A1:f_C1             -3.500      8.548  -0.409    0.688    
## f_A1:f_D1             -3.500      8.548  -0.409    0.688    
## f_B1:f_C1             -4.000      8.548  -0.468    0.646    
## f_B1:f_D1              4.000      8.548   0.468    0.646    
## f_C1:f_D1             -2.500      8.548  -0.292    0.774    
## f_A1:f_B1:f_C1         1.000     12.088   0.083    0.935    
## f_A1:f_B1:f_D1        10.500     12.088   0.869    0.398    
## f_A1:f_C1:f_D1         7.000     12.088   0.579    0.571    
## f_B1:f_C1:f_D1         2.500     12.088   0.207    0.839    
## f_A1:f_B1:f_C1:f_D1  -16.500     17.095  -0.965    0.349    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.044 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6925, Adjusted R-squared:  0.4042 
## F-statistic: 2.402 on 15 and 16 DF,  p-value: 0.04609

1.2 .Inciso b.

Investigue qué efectos influyen de manera significativa sobre Y1 (apóyese en Pareto y ANOVA).

Tabla ANOVA

modeloY1=aov(modeloY1)
summary(modeloY1)
##                 Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_A              1   8613    8613  62.260 6.63e-07 ***
## f_B              1   1263    1263   9.126 0.008117 ** 
## f_C              1  11820   11820  85.436 8.12e-08 ***
## f_D              1  11666   11666  84.328 8.87e-08 ***
## f_A:f_B          1    332     332   2.396 0.141163    
## f_A:f_C          1   3549    3549  25.654 0.000115 ***
## f_A:f_D          1    205     205   1.482 0.241106    
## f_B:f_C          1    332     332   2.396 0.141163    
## f_B:f_D          1    428     428   3.092 0.097779 .  
## f_C:f_D          1    306     306   2.214 0.156214    
## f_A:f_B:f_C      1     69      69   0.499 0.490107    
## f_A:f_B:f_D      1     69      69   0.499 0.490107    
## f_A:f_C:f_D      1      9       9   0.065 0.801591    
## f_B:f_C:f_D      1    158     158   1.139 0.301766    
## f_A:f_B:f_C:f_D  1     23      23   0.165 0.690267    
## Residuals       16   2213     138                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Se puede observar con los resultados del ANOVA de la variable Y1 que las variables de manera individual son significativas sin embargo respecto a las interacciones solo se puede considerar significativa la interacción de los fatores A y C, es decir, la velocidad y el orden o secuencia. Además se puede observar que el factor B, la velocidad de mesa es el factor que de manera individual representa menor efecto que el resto de los factores.

1.3 .Inciso c. 

Obtenga el mejor ANOVA.

Mejor ANOVA

modeloMY1=aov(Y1~(f_B+f_C+f_D+f_A*f_C))
summary(modeloMY1)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_B          1   1263    1263   7.923  0.00918 ** 
## f_C          1  11820   11820  74.174 4.32e-09 ***
## f_D          1  11666   11666  73.212 4.90e-09 ***
## f_A          1   8613    8613  54.053 8.30e-08 ***
## f_C:f_A      1   3549    3549  22.272 7.05e-05 ***
## Residuals   26   4143     159                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

1.4 .Inciso d. 

Si en el análisis anterior encuentra alguna interacción significativa, analice con detalle la más importante e interprete en términos físicos.

library(FrF2)
experimento = FrF2(nruns = 16, nfactors = 4, factor.names = list(f_A=c(-1,1), f_B=c(-1,1), f_C=c(-1,1), f_D=c(-1,1) ),replications = 2,randomize = FALSE)  
## creating full factorial with 16 runs ...
experimento_respuesta=add.response(design=experimento,response = Y1)

Gráfica de efectos individuales

grafica_individuales=MEPlot(experimento_respuesta,main="Gráfica de efectos individuales")

Se puede concluir que, la interpretación coincide con los datos aportados del ANOVA, los factores A,C y D si sonsignificativos en el proceso a diferencia del B que solo presenta una menor significancia.

Gráfica de interacciones

grafica_interacciones=IAPlot(experimento_respuesta,main="Gráfica de Interacciones")

Y respecto a la gráfica de interacciones ya que la importante fue la interacción de A con C en los resultados del anova, es una conclusión a la que se llega de igual manera observando la gráfica y como esa interacción se observa que tiene un impacto más notable en comparación de las demás.

1.5 .Inciso e.

¿Qué tratamiento minimiza Y1?

El tratamiento que minimiza Y1 es el siguiente:
\[(-1,-1,1,1)\]

1.6 .Inciso f. 

Ahora investigue qué efectos influyen de manera relevante sobre Y2.
Tabla ANOVA

modeloY2=aov(modeloY2)
summary(modeloY2)
##                 Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## f_A              1  472.8   472.8  12.942 0.00241 **
## f_B              1    3.8     3.8   0.104 0.75183   
## f_C              1  294.0   294.0   8.049 0.01190 * 
## f_D              1  247.5   247.5   6.776 0.01922 * 
## f_A:f_B          1   19.5    19.5   0.535 0.47523   
## f_A:f_C          1   26.3    26.3   0.719 0.40885   
## f_A:f_D          1    2.5     2.5   0.069 0.79573   
## f_B:f_C          1   81.3    81.3   2.225 0.15525   
## f_B:f_D          1   81.3    81.3   2.225 0.15525   
## f_C:f_D          1    7.0     7.0   0.192 0.66673   
## f_A:f_B:f_C      1   26.3    26.3   0.719 0.40885   
## f_A:f_B:f_D      1    2.5     2.5   0.069 0.79573   
## f_A:f_C:f_D      1    0.8     0.8   0.021 0.88556   
## f_B:f_C:f_D      1   16.5    16.5   0.453 0.51074   
## f_A:f_B:f_C:f_D  1   34.0    34.0   0.932 0.34882   
## Residuals       16  584.5    36.5                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

De acuerdo con el anova de la variable de respuesta Y2 se observa que en este caso, los factores de importancia son el factor A, el C y el D aunque en menor medida, y el factor B no resulta significante al igual que ninguna de las interacciones, por lo que a continuación se muestra solo la gráfica de efectos individuales.

library(FrF2)
experimento = FrF2(nruns = 16, nfactors = 4, factor.names = list(f_A=c(-1,1), f_B=c(-1,1), f_C=c(-1,1), f_D=c(-1,1) ),replications = 2,randomize = FALSE)  
## creating full factorial with 16 runs ...
experimento_respuesta1=add.response(design=experimento,response = Y2)

Gráfica de efectos individuales

grafica_individuales=MEPlot(experimento_respuesta1,main="Gráfica de efectos individuales")

Se puede observar con ayuda de la gráfica como se cumple lo obtenido en el anova, el factor B no es significativo, los factores C y D lo son en cierta manera y el A si resulta un factor de importancia para la variable Y2.

1.7 .Inciso g.

¿Qué tratamiento minimiza Y2?
El tratamiento que minimiza a Y2 es: (1,-1,-1,1) o:(1,1,-1,1).

1.8 .Inciso h.

Encuentre una condición satisfactoria tanto para minimizar Y1 como Y2.

Observando los tratamientos que se obtuvieron de cada variable, y que A y C difierenla mejor solución que se puede encontrar para minimizar ambas es:
\((-1,-1,1,1 )\)

1.9 .Inciso i.

De los análisis de varianza para Y1 y Y2 observe el coeficiente \(R^2\). ¿Qué concluye de ello?

Y1:
Residual standard error: 11.76 on 16 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9461, Adjusted R-squared: 0.8955 F-statistic: 18.72 on 15 and 16 DF, p-value: 2.305e-07

Y2:
Residual standard error: 6.044 on 16 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.6925, Adjusted R-squared: 0.4042 F-statistic: 2.402 on 15 and 16 DF, p-value: 0.04609

Se puede concluir, que como se observa el \(R^2\) es bastante grande y significativo, indica que los factores tienen una relación significativa como se concluyó anteriormente con los resultados obtenidos y que es recomendable su análisis, y para el caso de Y2, se puede observar como el \(R^2\) no es fuerte, no existe una relación significativa realmente en los factores pero aún así si es algo notorio, sin embargo el modelo no representa de la misma manera que Y1.

1.10 .Inciso j.

Verifique residuos.

Prueba de normalidad
Hipotesis nula de la Prueba de Shapiro-Wilks se rechaza cuando el Valorp<0.05

normalidad=shapiro.test(resid(modeloY1))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modeloY1)
## W = 0.96651, p-value = 0.4091
normalidad=shapiro.test(resid(modeloY2))
print(normalidad)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modeloY2)
## W = 0.8854, p-value = 0.002686

El valor presentado por Valorp es de 0.4091 para Y1 y 0.02686 para Y2, lo que indica que solo el valor de Y1 es mayor que 0.05, por lo tanto,en conclusión, se acepta la hipótesis nula para Y1 y se dice que los residuos son normales, sin embargo para el caso de Y2 no se acepta por lo tanto no existe normalidad en tales residuos.

Prueba de Bartlett

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modeloY1),f_A,f_B,f_C,f_D, data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modeloY1) and f_A
## Bartlett's K-squared = 0.025372, df = 1, p-value = 0.8734
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modeloY2),f_A,f_B,f_C,f_D, data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modeloY2) and f_A
## Bartlett's K-squared = 2.0788, df = 1, p-value = 0.1494

En ambos casos el p value es mayor que 0.05 por lo que se acepta la hipótesis nula y se puede decir que los residuos de ambas variables tienen varianza constante, pero, ya que en la variable Y2, los residuos no cuentan con normalidad se dice que el modelo lineal no es adecuado para analizar correctamente las dos variables.

Bibliografía

Pulido, H. G., De la Vara Salazar, R., González, P. G., Martı́nez, C. T., & Pérez, M. del C. T. (2012). Análisis y diseño de experimentos. McGraw-Hill New York, NY, USA: