Factorial 2^4

Ej. 9

En una empresa de electrónica, una máquina toma componentes que le proporciona un alimentador para montarlos o depositarlos en una tarjeta. Se ha tenido el problema de que la máquina falla en sus intentos por tomar el componente, lo cual causa paros de la máquina que detienen el proceso hasta que el operador se da cuenta y reinicia el proceso. Para diagnosticar mejor la situación, se decide correr un diseño de experimentos 24 con n=2 réplicas, en el que se tienen los siguientes factores y niveles (–, +), respectivamente: A) Velocidad de cam (70%, 100%), B) Velocidad de mesa (media, alta), C) Orden o secuencia de colocación (continua, variable), D) Alimentador (1, 2). Como el proceso es muy rápido, es necesario dejarlo operar en cada condición experimental el tiempo suficiente para reproducir el problema. Se consideró que esto se lograba con suficiente confianza con 500 componentes; por ello, cada una de las corridas experimentales consistió en colocar 500 componentes, y se midieron dos variables de respuesta: Y1 = número de errores (o intentos fallidos), y Y2 = tiempo real (en segundos) para tomar y “colocar” los 500 componentes. Es evidente que se quieren minimizar ambas variables. Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

Factor A	Factor B	Factor C	Factor D	Y1	Y2	Y1	Y2
-1	-1	-1	-1	61	88	50	79
+1	-1	-1	-1	105	78	98	74
-1	+1	-1	-1	61	82	40	82
+1	+1	-1	-1	104	73	145	79
-1	-1	+1	-1	0	88	35	100
+1	-1	+1	-1	35	84	22	82
-1	+1	+1	-1	50	89	37	88
+1	+1	+1	-1	57	79	71	81
-1	-1	-1	1	12	77	19	75
+1	-1	-1	1	60	66	57	64
-1	+1	-1	1	9	84	19	73
+1	+1	-1	1	72	93	61	66
-1	-1	+1	1	0	86	0	82
+1	-1	+1	1	10	76	1	77
-1	+1	+	1	3	84	7	86
+1	+1	+1	1	15	75	15	73

Al observar los datos obtenidos, se deduce que hay algunos tratamientos que tienen pocos o ningún componente caídos, como por ejemplo el (–1, –1, +1, +1); alguien muy “práctico” decidiría poner la máquina a operar bajo estas condiciones y olvidarse del análisis estadístico. De proceder así, explique qué información se perdería.
Investigue qué efectos influyen de manera significativa sobre Y1 (apóyese en Pareto y ANOVA).
Obtenga el mejor ANOVA.
Si en el análisis anterior encuentra alguna interacción significativa, analice con detalle la más importante e interprete en términos físicos.
¿Qué tratamiento minimiza Y1?
Ahora investigue qué efectos influyen de manera relevante sobre Y2.
¿Qué tratamiento minimiza Y2?
Encuentre una condición satisfactoria tanto para minimizar Y1 como Y2. i)De los análisis de varianza para Y1 y Y2 observe el coeficiente R2. ¿Qué concluye de ello?
Verifique residuos.

Desarrollo del ejercicio 9

library(readxl)
library(FrF2)

datos=read_excel(path = "dataset.xlsx")
View(datos)

attach(datos)

a) Al observar los datos obtenidos, se deduce que hay algunos tratamientos que tienen pocos o ningún componente caídos, como por ejemplo el (–1, –1, +1, +1); alguien muy “práctico” decidiría poner la máquina a operar bajo estas condiciones y olvidarse del análisis estadístico. De proceder así, explique qué información se perdería.

Con base a lo mencionado anteriormente si se sigue trabajando de dicha manera se podrá perder información importante y no se encontrará un método en el que se pueda explicar detalladamente la forma en que influyen los factores en las variables de respuesta. Además, esto provocará que haya diversos errores ya que no se conocerían los niveles en que deben trabajar los factores.

f_a=factor(velocidad_de_cam)
f_b=factor(velocidad_de_mesa)
f_c=factor(orden)
f_d=factor(alimentador)

b) Investigue qué efectos influyen de manera significativa sobre Y1 (apóyese en Pareto y ANOVA).

modelo1=lm(Y1~(f_a+f_b+f_c+f_d+f_a*f_b+f_a*f_c+f_a*f_d+f_b*f_c+f_b*f_d+f_c*f_d+f_a*f_b*f_c+f_a*f_b*f_d+f_a*f_c*f_d+f_b*f_c*f_d+f_a*f_b*f_c*f_d))
summary(modelo1)

## 
## Call:
## lm.default(formula = Y1 ~ (f_a + f_b + f_c + f_d + f_a * f_b + 
##     f_a * f_c + f_a * f_d + f_b * f_c + f_b * f_d + f_c * f_d + 
##     f_a * f_b * f_c + f_a * f_b * f_d + f_a * f_c * f_d + f_b * 
##     f_c * f_d + f_a * f_b * f_c * f_d))
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -20.500  -5.125   0.000   5.125  20.500 
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           55.500      8.317   6.673 5.35e-06 ***
## f_a1                  46.000     11.762   3.911  0.00124 ** 
## f_b1                  -5.000     11.762  -0.425  0.67643    
## f_c1                 -38.000     11.762  -3.231  0.00523 ** 
## f_d1                 -40.000     11.762  -3.401  0.00365 ** 
## f_a1:f_b1             28.000     16.634   1.683  0.11172    
## f_a1:f_c1            -35.000     16.634  -2.104  0.05153 .  
## f_a1:f_d1             -3.000     16.634  -0.180  0.85914    
## f_b1:f_c1             31.000     16.634   1.864  0.08083 .  
## f_b1:f_d1              3.500     16.634   0.210  0.83600    
## f_c1:f_d1             22.500     16.634   1.353  0.19497    
## f_a1:f_b1:f_c1       -18.500     23.524  -0.786  0.44311    
## f_a1:f_b1:f_d1       -18.500     23.524  -0.786  0.44311    
## f_a1:f_c1:f_d1        -2.500     23.524  -0.106  0.91669    
## f_b1:f_c1:f_d1       -24.500     23.524  -1.041  0.31313    
## f_a1:f_b1:f_c1:f_d1   13.500     33.268   0.406  0.69027    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 11.76 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9461, Adjusted R-squared:  0.8955 
## F-statistic: 18.72 on 15 and 16 DF,  p-value: 2.305e-07

anova=aov(modelo1)
summary(anova)

##                 Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_a              1   8613    8613  62.260 6.63e-07 ***
## f_b              1   1263    1263   9.126 0.008117 ** 
## f_c              1  11820   11820  85.436 8.12e-08 ***
## f_d              1  11666   11666  84.328 8.87e-08 ***
## f_a:f_b          1    332     332   2.396 0.141163    
## f_a:f_c          1   3549    3549  25.654 0.000115 ***
## f_a:f_d          1    205     205   1.482 0.241106    
## f_b:f_c          1    332     332   2.396 0.141163    
## f_b:f_d          1    428     428   3.092 0.097779 .  
## f_c:f_d          1    306     306   2.214 0.156214    
## f_a:f_b:f_c      1     69      69   0.499 0.490107    
## f_a:f_b:f_d      1     69      69   0.499 0.490107    
## f_a:f_c:f_d      1      9       9   0.065 0.801591    
## f_b:f_c:f_d      1    158     158   1.139 0.301766    
## f_a:f_b:f_c:f_d  1     23      23   0.165 0.690267    
## Residuals       16   2213     138                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Con base a la tabla ANOVA se puede observar que los efectos que son significativos en la variable de respuesta del número de errores Y1 son en los que el Valor_p<0.05, es decir los factores A, B, C, D y AC.

c) Obtenga el mejor ANOVA.

modelo=aov(Y1~(f_b+f_d+f_a*f_c))
anova=aov(modelo) 
summary(anova)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## f_b          1   1263    1263   7.923  0.00918 ** 
## f_d          1  11666   11666  73.212 4.90e-09 ***
## f_a          1   8613    8613  54.053 8.30e-08 ***
## f_c          1  11820   11820  74.174 4.32e-09 ***
## f_a:f_c      1   3549    3549  22.272 7.05e-05 ***
## Residuals   26   4143     159                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Con base a esto se puede visualizar que los efectos más significativos en la variable de respuesta Y1 son los factores A, B, C, D y AC, por ello se analiza de forma individual para las que son significativas. Además en la tabla ANOVA se plantea que tan significativo es cada uno de los factores.

d) Si en el análisis anterior encuentra alguna interacción significativa, analice con detalle la más importante e interprete en términos físicos.

experimento=FrF2(nruns = 16,nfactors = 4,factor.names = list(f_a=c(-1,1),f_b=c(-1,1),f_c=c(-1,1),f_d=c(-1,1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Y1)
IAPlot(experimento_resp, main= "Graficos de Interaccion")

Se puede observar que el valor más significativo sobre la variable de respuesta es el factor A debido a que produce un mayor número de errores cuando este se encuentra en un nivel alto. Por otra parte, se puede visualizar que el factor B con un nivel alto aumenta un poco la cantidad o el numero de errores. Asimismo, en los factores C y D se puede visualizar que se reduce el número de errores cuando se esta trabajando en un nivel alto.

e) ¿Qué tratamiento minimiza Y1?

El tratamiento para minimizar a Y1 es: trabajar el factorA en un nivel mas bajo a 70%, trabajar factor B en un nivel bajo a media, en el factor C se debe tener un nivel alto y por uultimo el factor D en un nivel alto que seria 2.

f) Ahora investigue qué efectos influyen de manera relevante sobre Y2.

modelo2=lm(Y2~(f_a+f_b+f_c+f_d+f_a*f_b+f_a*f_c+f_a*f_d+f_b*f_c+f_b*f_d+f_c*f_d+f_a*f_b*f_c+f_a*f_b*f_d+f_a*f_c*f_d+f_b*f_c*f_d+f_a*f_b*f_c*f_d))
summary(modelo2)

## 
## Call:
## lm.default(formula = Y2 ~ (f_a + f_b + f_c + f_d + f_a * f_b + 
##     f_a * f_c + f_a * f_d + f_b * f_c + f_b * f_d + f_c * f_d + 
##     f_a * f_b * f_c + f_a * f_b * f_d + f_a * f_c * f_d + f_b * 
##     f_c * f_d + f_a * f_b * f_c * f_d))
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -13.5   -1.0    0.0    1.0   13.5 
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           83.500      4.274  19.538 1.37e-12 ***
## f_a1                  -7.500      6.044  -1.241    0.233    
## f_b1                  -1.500      6.044  -0.248    0.807    
## f_c1                  10.500      6.044   1.737    0.102    
## f_d1                  -7.500      6.044  -1.241    0.233    
## f_a1:f_b1              1.500      8.548   0.175    0.863    
## f_a1:f_c1             -3.500      8.548  -0.409    0.688    
## f_a1:f_d1             -3.500      8.548  -0.409    0.688    
## f_b1:f_c1             -4.000      8.548  -0.468    0.646    
## f_b1:f_d1              4.000      8.548   0.468    0.646    
## f_c1:f_d1             -2.500      8.548  -0.292    0.774    
## f_a1:f_b1:f_c1         1.000     12.088   0.083    0.935    
## f_a1:f_b1:f_d1        10.500     12.088   0.869    0.398    
## f_a1:f_c1:f_d1         7.000     12.088   0.579    0.571    
## f_b1:f_c1:f_d1         2.500     12.088   0.207    0.839    
## f_a1:f_b1:f_c1:f_d1  -16.500     17.095  -0.965    0.349    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.044 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6925, Adjusted R-squared:  0.4042 
## F-statistic: 2.402 on 15 and 16 DF,  p-value: 0.04609

anova=aov(modelo2)
summary(anova)

##                 Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## f_a              1  472.8   472.8  12.942 0.00241 **
## f_b              1    3.8     3.8   0.104 0.75183   
## f_c              1  294.0   294.0   8.049 0.01190 * 
## f_d              1  247.5   247.5   6.776 0.01922 * 
## f_a:f_b          1   19.5    19.5   0.535 0.47523   
## f_a:f_c          1   26.3    26.3   0.719 0.40885   
## f_a:f_d          1    2.5     2.5   0.069 0.79573   
## f_b:f_c          1   81.3    81.3   2.225 0.15525   
## f_b:f_d          1   81.3    81.3   2.225 0.15525   
## f_c:f_d          1    7.0     7.0   0.192 0.66673   
## f_a:f_b:f_c      1   26.3    26.3   0.719 0.40885   
## f_a:f_b:f_d      1    2.5     2.5   0.069 0.79573   
## f_a:f_c:f_d      1    0.8     0.8   0.021 0.88556   
## f_b:f_c:f_d      1   16.5    16.5   0.453 0.51074   
## f_a:f_b:f_c:f_d  1   34.0    34.0   0.932 0.34882   
## Residuals       16  584.5    36.5                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

En la tabla ANOVA se puede observar que los factores mas significativos que influyen en Y2 son los valores en donde \(Valor P <0.05\), es decir entonces que el factor A, el factor C y el factor D son los factores mas significativos sobre Y2.

g) ¿Qué tratamiento minimiza Y2?

experimento=FrF2(nruns = 16,nfactors = 4,factor.names = list(f_a=c(-1,1),f_b=c(-1,1),f_c=c(-1,1),f_d=c(-1,1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Y2)
MEPlot(experimento_resp,main= "Gráfica de Efectos Individuales")

h) Encuentre una condición satisfactoria tanto para minimizar Y1 como Y2.

Condición satisfactoria para minimizar a Y1: A,B,C,D=(-,-,+,+) Condición satisfactoria para minimizar a Y2: A,B,C,D=(+,-,-,+)

i)De los análisis de varianza para Y1 y Y2 observe el coeficiente R2. ¿Qué concluye de ello?

En conclusión, el coeficiente R^2 para Y1 y Y2 es de 0.9461 y 0.6925 respectivamente. De la misma forma, el coeficiente R^2  indica la capacidad que poseen los datos para ajustarse y predecir la variable de respuesta. Por lo tanto, si el valor de R^2  es mayor esto quiere decir que el modelo explica de forma correcta como influyen los factores en la variable de respuesta, de lo contrario si el valor es menor significa que el modelo no ajusta ni da a conocer como influyen los factores en la variable. De esta forma se logra determinar que el valor de Y1 del R^2  es el modelo adecuado ya que su valor es muy cercano a 1. De la misma forma se logra observar que Y2 es un valor menor y por lo tanto no es muy adecuado.

j) Verifique residuos.

Hipotesis de la normalidad de los residuos de Shapiro-Wilk:

\[H_0=XЄ N(μ=0,σ^2= Constante)\]

\[H_0=X ∉ N(μ=0,σ^2= Constante)\]

normalidad=shapiro.test(resid(modelo1))
print(normalidad)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo1)
## W = 0.96651, p-value = 0.4091

normalidad=shapiro.test(resid(modelo2))
print(normalidad)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  resid(modelo2)
## W = 0.8854, p-value = 0.002686

Con base a los resultados que arrojo la prueba de Shapiro-Wilk se puede observar que para Y1 el \(Valor_p<0.05\), ya que es igual a 0.4091 por lo que se acepta la hipótesis nula lo que indica que los residuos tienen una distribución normal.

Por otra parte, los resultados alcanzados de la prueba de Shapiro-Wilk para Y2 indican que el 〖Valor〗_(`p)<0.05 ya que es igual a 0.0026 por lo que se rechaza la hipótesis nula, es decir que los residuos no tienen una distribución normal, lo cual muestra que el modelo no es el adecuado para explicar el número de errores en función de los factores A, B, C, D.

Hipotesis de la prueba de Bartlett:

\[H_0 : σ^2_i = σ^2_j = Constante\] \[H_1 : σ^2_i ≠ σ^2_j ≠ Constante\]

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo1),f_a,f_b,f_c,f_d,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo1) and f_a
## Bartlett's K-squared = 0.025372, df = 1, p-value = 0.8734

Y1: Es igual a 0.8734, por lo tanto es mayor que 0.05 y por eso se acepta la hipótesis nula, lo que significa que si hay igualdad de varianzas, por ende el modelo es adecuado para poder explicar el numero de errores en función de los factores velocidad del factor A, B, C y D.

homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo2),f_a,f_b,f_c,f_d,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  resid(modelo2) and f_a
## Bartlett's K-squared = 2.0788, df = 1, p-value = 0.1494

En conclusión, para Y1 se obtuvo un 〖Valor〗_(`p)>0.05 el cual es 0.8734 por lo que se acepta la hipótesis nula y se determina que hay igualdad de varianzas lo que indica que este modelo es el adecuado para explicar el número de errores en función de los factores A, B, C y D.

Por otra parte, para Y2 se obtiene un 〖Valor〗_(`p)>0.05 el cual es igual a 0.1494 por lo cual se acepta la hipótesis nula y se determina que hay igualdad de varianzas. No obstante, el modelo no pasa las 2 pruebas por lo que este no es el adecuado para examinar los efectos de los factores sobre la variable de respuesta.

BIBLIOGRAFIA

Factorial 2^4

Maria Fernanda Morgado Barrientos

2021-10-06

Factor A	Factor B	Factor C	Factor D	Y1	Y2	Y1	Y2
-1	-1	-1	-1	61	88	50	79
+1	-1	-1	-1	105	78	98	74
-1	+1	-1	-1	61	82	40	82
+1	+1	-1	-1	104	73	145	79
-1	-1	+1	-1	0	88	35	100
+1	-1	+1	-1	35	84	22	82
-1	+1	+1	-1	50	89	37	88
+1	+1	+1	-1	57	79	71	81
-1	-1	-1	1	12	77	19	75
+1	-1	-1	1	60	66	57	64
-1	+1	-1	1	9	84	19	73
+1	+1	-1	1	72	93	61	66
-1	-1	+1	1	0	86	0	82
+1	-1	+1	1	10	76	1	77
-1	+1	+	1	3	84	7	86
+1	+1	+1	1	15	75	15	73

Factor A	Factor B	Factor C	Factor D	Y1	Y2	Y1	Y2
-1	-1	-1	-1	61	88	50	79
+1	-1	-1	-1	105	78	98	74
-1	+1	-1	-1	61	82	40	82
+1	+1	-1	-1	104	73	145	79
-1	-1	+1	-1	0	88	35	100
+1	-1	+1	-1	35	84	22	82
-1	+1	+1	-1	50	89	37	88
+1	+1	+1	-1	57	79	71	81
-1	-1	-1	1	12	77	19	75
+1	-1	-1	1	60	66	57	64
-1	+1	-1	1	9	84	19	73
+1	+1	-1	1	72	93	61	66
-1	-1	+1	1	0	86	0	82
+1	-1	+1	1	10	76	1	77
-1	+1	+	1	3	84	7	86
+1	+1	+1	1	15	75	15	73

Factor A	Factor B	Factor C	Factor D	Y1	Y2	Y1	Y2
-1	-1	-1	-1	61	88	50	79
+1	-1	-1	-1	105	78	98	74
-1	+1	-1	-1	61	82	40	82
+1	+1	-1	-1	104	73	145	79
-1	-1	+1	-1	0	88	35	100
+1	-1	+1	-1	35	84	22	82
-1	+1	+1	-1	50	89	37	88
+1	+1	+1	-1	57	79	71	81
-1	-1	-1	1	12	77	19	75
+1	-1	-1	1	60	66	57	64
-1	+1	-1	1	9	84	19	73
+1	+1	-1	1	72	93	61	66
-1	-1	+1	1	0	86	0	82
+1	-1	+1	1	10	76	1	77
-1	+1	+	1	3	84	7	86
+1	+1	+1	1	15	75	15	73