Universitas :“UIN MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG”

Jurusan : “Teknik Informatika”

Turunan Fungsi Diferensiasi Metode Beda Hingga (5.1)

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan (9.1).

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana
h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai
h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai
h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan
f(x) dan f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah
h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai
x . Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

Bagaimana menentukan
h ? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error
ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).

Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai
h menggunakan Persamaan (9.6).

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

contoh soal turunan fungsi

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 2 adalah

penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=2, h=0.05,
  method="central")
## [1] 4050.449

Lembar Kerja Mahasiswa

Soal 1 y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 785.12

Soal 2 y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 337.09

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat (5.2) Pernyataan Fungsi Konstanta Dan Pangkat Sebagai Berikut:

Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat

Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 17.23269

Soal 2 y = abx3 + 3x2 dengan dimisalkan a= 1 b= 2 x= 1 h=0.05

penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 12.005

Sifat – sifat Turunan (5.3) Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

Contoh penerapan sifat-sifat turunan dan Pembahasannya. jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian secara manual

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Contoh soal sifat-sifat turunan

langkah-langkah yang harus di lakukan adalah

1 Tentukan u, u’, v, v’.

u = 2*x-1
 v = x^2+1
 
 u'= 2
 v'= 2x

2 Masukkan kedalam sifat dan operasikan ƒ(x)’ = 2(x3+1)-(2x-1)2x/x2+1 ^2

Penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 3.999987

Soal – soal dibawah ini kerjakan secara mannual dan menggunakan IDE RSudio

Pengerjaan dan pembahasan Soal 1 Penyelesaian manual

g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
    ℎ(x) = x^2 + 7 

    g′(x) = 12*x^3 + 4*x
    ℎ′(x) = 2*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
    ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140
findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261

Pengerjaan dan pembahasan Soal 2 y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)

Penyelesaian manual dengan x=1 h=0.05; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = x^3 + 3*x^2
    ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

    g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
    ℎ′(x) = 8*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
    ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)

Penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

Pengerjaan dan pembahasan Soal 3

dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05

Penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -2.010038

Pengerjaan dan pembahasan Soal 4

Penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -5.040151

REFERENSI

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.