Universitas : UIN MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
Jurusan : Teknik Informatika
Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan.
Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan. Jadi kita ingin membuat nilaihh sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai hh pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x)f(x) dan f(x+h)f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.
Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor.
Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai X.
untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:
findiff <- function(f, x, h, method=NULL){ if(is.null(method)){
warning("please select a method")
}else{
if(method == "forward"){ return((f(x+h)-f(x))/h)
}else if(method=="backward"){ return((f(x)-f(x-h))/h)
}else if(method=="central"){ return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
}else{
warning("you can use method: forward, bacward, or central")
}
}
}
Contoh soal turunan fungsi menggunakan Rstudio Jika f(x)= 3(x8)-5(x6)+x*4 - x+11, maka turunan dari f(x) dix = 3 adalah #PENYELESAIAN
findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x +11, x=4, h=0.05,
method="central")
## [1] 424385.1
~Soal 1 Turunan Fungsi
y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah
#Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x, x=4, h=0.05
method="central")
## [1] 785.12
~Soal 2 Turunan Fungsi
y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah
#Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05
method="central")
##[1] 22
Beberapa pertanyaan yang menjadi dasar antara lain sebagai berikut. 1.Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f’(x)= 0 2.Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f’(x) = 1 3.Jika f(x)= xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f’(x)=nxn-1
Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat: Jika f(x)=5x6 - 2x4 + x3 - 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x)adalah
#Penyelesaian pada Rstudio:
findiff(function(x)
5*(X^6)- 2*(X^4)+ X^3 - 8*X _3 , X=1, H=0.05
Method="central")
## [1] 17.23269
~Soal 1 Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat y = 3(x4)+2(x2)+ 2*x dengan dimisalkan a=2,x=1,h=0.05. #Penyelesaian Pada Rstudio
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
method="central")
## [1] 18.03
~Soal 2 Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat y = abx3 + 3x2 dengan dimisalkan a=1 b=2 x=1 h=0.05
#Penyelesaian pada Rstudio:
findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2), x=1, h=0.05,
metod="central")
## [1] 12.005
Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensiasialkan, u dan v fungsi-fungsi dalam x sehingga u =f(x)dan v=g(x)maka berlaku: 1. Jika y = ku, maka y’= k(u’) * 2. Jika y = u+v, maka y’= u’+ v’ * 3. Jika y = u-v, maka y’ = u’-v’ 4. Jika y = u v, maka y’= u’v + uv’ * 5. Jika y = u/v, maka y’= u’y-u v’/v2 *
jika f(x)=(3x5 + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah
jika f(x) = g(x).h(x)
g(x) = 3x5 + 3x
h(x) = 4x + 7
g'(x)= 15x4 + 2
h'(x)= 4
f'(x)= g'(x). h(x) + g(x). h'(x)
f '(x)= (15x4 + 2), (4x + 7) + (3x5 + 2x).4
Contoh soal sifat-sifat turunan:
Jika f(x)= 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, * 2x-1 /x^2+1, x=1, h=0.05
Sesuai dengan sifat ke 5 (y= u/v,maka y’= u’v-u v’/v2)
langkah-langkah yang harus dilakukan:
V = 2*x-1
v = x^2+1
u'= 2
v'= 2xƒ(x)’ = 2(x3+1)-(2x-1)2x/x2+1 ^2
Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x) 2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 3.999987#Soal – soal dibawah ini kerjakan secara mannual dan menggunakan RSudio:
1 y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 )
2 y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)
3 y = 1/S^2+1
4 y = 1/S^2–3*S+9
#Pengerjaan dan pembahasan Soal 1
● Penyelesaian pada RStudio:
Jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)
g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
ℎ(x) = x^2 + 7
g′(x) = 12*x^3 + 4*x
ℎ′(x) = 2*x
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140. Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x) (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7 , x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 29.17261#Pengerjaan dan pembahasan Soal 2
y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)
Penyelesaian manual
Jika y = x^3 + (3(x^2)) (4*(x^2) + 2) dengan x=1 h=0.05; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)
g(x) = x^3 + 3*x^2
ℎ(x) = 4*(x^2) + 2
g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
ℎ′(x) = 8*x
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2 + (x^3 + 3*(x^2)8*x)
ƒ'(1) = 3(1^2) + 4*(1^2) + 2 + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)● Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x) x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 63.1225y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05
● Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x) 1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
method="central")## [1] -2.010038y= 1/4(S^2)–(3S)+9
Jika y = 1/4(S2)–(3S)+9 dimisalkan s=x maka,y=1/4(x2)–(3x)+9 , x=1, h=0.05
.Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x) 1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
method="central")## [1] -5.040151https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.