Pembahasan Beserta Penyelesaian Soal Fungsi Diferensial dengan R

Lembaga : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
Jurusan : Teknik Informatika

A. Turunan Fungsi Diferensial Metode Beda Hingga

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan

Gambar 9.1

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Gambar 9.2; Gambar 9.3

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

Gambar 9.4

Bagaimana menentukan h? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine erroe ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).

Gambar 9.5

Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai h menggunakan Persamaan (9.6).

Gambar 9.6

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Jika ƒ(x) = 3x⁸ − 5x⁶ + x⁴ − x + 11, maka turunan dari f(x) jika nilai x = 4 adalah…..
Jawab :

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 424385.1

Soal 2

Jika y = 3x⁴ + 2x² + x maka turunan dari y jika nilai x = 2 adalah…..
Jawab :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 105.06

Soal 3

Jika y = x³ + 3x² maka turunan dari y jika nilai x = 5 adalah……
Jawab :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
  method="central")

## [1] 1521.15

B. Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Berikut ialah kondisi-kondisi yang menjadi dasar turunan fungsi konstanta dan pangkat :

1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

3. Jika f(x) = xⁿ dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f’(x) = nx^n–1.

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Jika ƒ(x) = 5x⁶ − 2x⁴ + x³ − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) jika x = 2 adalah…..
Jawab :

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 901.9629

Soal 2

Jika y = 3x⁴ + 2x² + 2x maka turunan dari fungsi y jika x = 5 adalah……
Jawab :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x , x=5, h=0.05,
  method="central")

## [1] 1522.15

Soal 3

y = abx³ + 3x² maka turunan dari fungsi y jika nilai a = 2; b = 4; x = 3 adalah……
Jawab :

findiff(function(x)
2*4*(x^3) + 3*(x^2) , x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 234.02

C. Sifat-Sifat Dari Turunan

Apabila k suatu konstanta f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, sedangkan u dan v adalah fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. Jika y = k(u), maka y’ = k (u’)

2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

4. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′

5. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

CONTOH PENERAPAN :

> jika f(x) = (3x⁵ + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah…….

> dilihat dari soalnya bahwa turunan ini sesuai dengan kondisi y = u x v, maka Penyelesaian Manualnya ialah :

g(x) = 3x^5^ + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x^4^ + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Jika ƒ(x) = 2x-1 /x²+1, maka turunan dari f(x) dimana nilai x = 3, adalah…..
Jawab :

// sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2), maka…

u = 2*x-1 v = x²+1

u’= 2 v’= 2x

maka
y’ = u’v-u v’/v2
y’ = 2(x²+1)-(2x-1)2x/(x²+1)²
Lalu Mulai Mengoperasikan menggunakan R

findiff(function(x)
2*(x^2+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 11.77772

Soal 2

Jika y = (3x⁴+2x²+x)(x² + 7 ) maka turunan dari fungsi y jika x = 2 adalah……
Jawab :

// sesuai dengan sifat ke 4 (ƒ’(x) = g’(x). ℎ(x) + g(x). ℎ’(x)), maka…

g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
ℎ(x) = x^2 + 7 

g′(x) = 12*x^3 + 4*x
ℎ′(x) = 2*x

maka
ƒ’(x) = g’(x). ℎ(x) + g(x). ℎ’(x)
ƒ’(x) = (12x^3 + 4x)(x^2 + 7) + (3x^4+2x^2+x)2*x

Mulai Mengoperasikan menggunakan R

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 653.2427

Soal 3

Jika y= (x³ + 3x²)(4x² + 2) maka turunan dari fungsi y dimana nilai x = 3 adalah……
Jawab :

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 1359.362

Soal 4

Jika y = 1/3x²+1 maka turunan dari fungsi y dimana nilai x = 2 adalah……
Jawab :

findiff(function(x)
1/(3*x^2)+1, x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] -0.0834376

Soal 5

Jika y= 1/4(x^2)–(3x)+9 maka turunan dari fungsi y jika nilai x = 1 adalah……
Jawab :

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 - 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -11.04015

Daftar Pustaka

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#newtoncotes
Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.

Pembahasan Beserta Penyelesaian Soal Fungsi Diferensial dengan R

Muh Miftahul Khair, Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

3/10/2021

A. Turunan Fungsi Diferensial Metode Beda Hingga

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Soal 2

Soal 3

B. Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Berikut ialah kondisi-kondisi yang menjadi dasar turunan fungsi konstanta dan pangkat :

1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

3. Jika f(x) = xⁿ dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f’(x) = nx^n–1.

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Soal 2

Soal 3

C. Sifat-Sifat Dari Turunan

Apabila k suatu konstanta f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, sedangkan u dan v adalah fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. Jika y = k(u), maka y’ = k (u’)

2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

4. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′

5. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

CONTOH PENERAPAN :

> jika f(x) = (3x⁵ + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah…….

> dilihat dari soalnya bahwa turunan ini sesuai dengan kondisi y = u x v, maka Penyelesaian Manualnya ialah :

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Soal 5

Daftar Pustaka

Pembahasan Beserta Penyelesaian Soal Fungsi Diferensial dengan R

Muh Miftahul Khair, Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

3/10/2021

A. Turunan Fungsi Diferensial Metode Beda Hingga

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Soal 2

Soal 3

B. Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Berikut ialah kondisi-kondisi yang menjadi dasar turunan fungsi konstanta dan pangkat :

1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f’(x) = nxn–1.

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Soal 2

Soal 3

C. Sifat-Sifat Dari Turunan

Apabila k suatu konstanta f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, sedangkan u dan v adalah fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. Jika y = k(u), maka y’ = k (u’)

2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

4. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′

5. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

CONTOH PENERAPAN :

> jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah…….

> dilihat dari soalnya bahwa turunan ini sesuai dengan kondisi y = u x v, maka Penyelesaian Manualnya ialah :

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Soal 5

Daftar Pustaka

3. Jika f(x) = xⁿ dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f’(x) = nx^n–1.

> jika f(x) = (3x⁵ + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah…….