Cara Menyelesaikan Fungsi Turunan atau Diferensial Menggunakan Bahasa Pemrograman R

Universitas : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Gambar 1.1 Kalkulus

Pengertian Turunan Fungsi

Dalam kalkulus, diferensial mewakili bagian utama dari perubahan dalam sebuah fungsi {y=f(x)}{y=f(x)} terhadap perubahan dalam variabel bebas. Diferensial { y}{ y}.

Untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
if(is.null(method)){
warning("please select a method")
}else{
if(method == "forward"){
return((f(x+h)-f(x))/h)
}else if(method=="backward"){
return((f(x)-f(x-h))/h)
}else if(method=="central"){
return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
}else{
warning("you can use method: forward, bacward, or central")
}
}
}

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika f(x) = 3x^8 - 5x^6 + x^4 - x + 11, maka turunan dari f(x) di x=3 adalah.

Jawab :

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x^4 - x + 11, x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 59993.87

Kerjakan soal berikut ini.

1. y = 3x^4 + 2x^2 + x, maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah.

jawab :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

2. y = x^3 + 3x^2, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah.

Jawab :

findiff(function(x)
x^3 + 3*(x^2), x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 45.0025

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Gambar 1.2 Turunan Fungsi Konstan dan Pangkat

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika f(x) = 5x^6 - 2x^4 + x^3 - 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) di x = 2 adalah.

Jawab :

findiff(function(x)
5*(x^6) - 2*(x^4) + x^3 - 8*x + 3, x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 901.9629

Kerjakan soal berikut ini.

1. y = 3x^4 + 2x^2 + ax, jika a=3, x=2, h=0.05.

Jawab :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 3*x, x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 107.06

2. y = abx^3 + 3x^2, jika a=3, b=2, x=2, h=0.05.

Jawab :

findiff(function(x)
3*2*(x^3) + 3*(x^2), x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 84.015

Sifat-Sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. Jika y = *ku*, maka y' = k(u')

2. Jika y = u + v, maka y' = u' + v′

3. Jika y = u − v, maka y' = u' − v′

4. Jika y = u v, maka y' = u'v + uv'

5. Jika y = u/v, maka y' = (u'v-uv')/v^2

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika f(x) = (2x - 1)/(x^2 + 1), maka turunan dari f(x) adalah.

Jawab :

Turunan ini sesuai dengan sifat kelima.

findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2 + 1 , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 3.999987

Kerjakan soal berikut ini.

1. y = (3x^4 + 2x^2 + x)(x^2 + 7), jika x=1, h=0.05

Jawab :

g(x) = 3x^4 + 2x^2 + x 

g'(x) = 12*x^3 + 4*x

h(x) = x^2 + 7

h′(x) = 2*x

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4 + 2*x^2 + x)*2*x

findiff(function(x)
  (12*(x^3) + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*(x^4) + 2*(x^2) + x)*2*x , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 398.6801

2. y = (x^3 + 3x^2)(4x2 + 2), jika x=1 dan h=0.05.

Jawab :

Menggunakan metode yang sama, yaitu:

g(x) = x^3 + 3x^2

g'(x) = 3x^2 + 6x

h(x) = 4x^2 + 2 

h'(x) = 8x 

f'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f'(x) = (3*x^2 + 6*x)*(4*x^2 + 2)+(x^3 + 3*x^2)*(8*x)

findiff(function(x)
  (3*x^2 + 6*x)*(4*x^2 + 2)+(x^3 + 3*x^2)*(8*x) , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 248.32

3. y = 1/3x^2 +1, jika x=1 dan h=0.05

Jawab :

Turunan ini menggunakan sifat turunan Jika y = u/v, maka y' = (u'v-uv')/v^2

u = 1

u' = 0

v = 3x^2 + 1

v' = 6x

f'(x)= (0*(3*x^2 + 1)- 1*6*x)/(3*x^2 + 1)^2

findiff(function(x)
  (0*(3*x^2 + 1)- 1*6*x)/(3*x^2 + 1)^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 0.7514023

4. y = 1/4x^2-3x+9, jika x=1 dan h=0.05

Jawab :

Turunan ini menggunakan sifat turunan Jika y = u/v, maka y' = (u'v-uv')/v^2

u = 1

u' = 0

v = 4x^2 - 3x +9

v' = 8x - 3

f'(x)= (0*(4*x^2 - 3*x + 9)-(1*(8*x - 3))/(4*x^2 - 3*x + 9)^2

findiff(function(x)
  (0*4*x^2 - 3*x + 9)-(1*8*x - 3)/(4*x^2 - 3*x + 9)^2, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -3.030077

Referensi

1. https://www.yuksinau.id/wp-content/uploads/2019/07/contoh-soal-turunan-fungsi-aljabar-kelas-12.jpg

2. https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff

3. Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.