Lembaga : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

JUrusan : Teknik Informatika

1. Turunan Fungsi Diferensial

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan (9.1).

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana
h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai
h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai
h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan
f ( x ) dan
f ( x + h ) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah
h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai
x .

Kita dapat menggunakan Persamaan untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Lembar Kerja Mahasiswa

contoh soal : f(x) = 3x\^2 + 2x + 4, maka turunan dari f adalah

= 3*2x\^(2-1) + 2*1x\^(1-1) 1. jika f(x) = 3x\^8 - 5x\^6 + x\^4 - x - 11, maka turunan dari f(x) adalah (LKM) 2. y = 3x\^4 + 2x\^2 + x 3. y = x\^3 + 3x\^2

jika x diketahui 1. jika f(x) = 3x\^2+2x+4, maka turunan f di x = 2 adalah 3*2x\^(2-1) + 2*1x\^(1-1) = 6x + 2 x=2 -\> 6(2)+2 = 14

1.  f(x) = 3x\^8 - 5x\^6 + x\^4 - x - 11, maka turunan f(x) di x = 3 adalah

2.  y = 3x\^4 + 2x\^2 + x x = 4

3.  y = x\^3 + 3x\^2 x=3

Soal 1 Turunan Fungsi

y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 424385.1

Soal 2 Turunan Fungsi

y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 22

2. Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Beberapa pernyataan yang menjadi dasar antara lain sebagai berikut. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1.

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat : Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 17.23269

Soal 1 Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan a=2, x=1, h=0.05.

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 18.03

Soal 2 Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

y = abx3 + 3x2 dengan dimisalkan a= 1 b= 2 x= 1 h=0.05

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 12.005

3. Sifat – sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

  1. Jika y = ku, maka y’ = k (u’)
  2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′
  3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′
  4. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′
  5. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

Contoh penerapan sifat-sifat turunan dan Pembahasannya. jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian secara manual

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh soal sifat-sifat turunan :

Jika ƒ(x) = 2*s-1 /s^2+1, maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian RStudio

Jika ƒ(x) = 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, 2x-1 /x^2+1 , x=1, h=0.05

sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)

langkah - langkah yang harus di lakukan:

  1. tentukan u, u’, v, v’.
u = 2*x-1
 v = x^2+1
 
 u'= 2
 v'= 2x
  1. masukkan kedalam sifat dan operasikan

ƒ(x)’ = 2(x3+1)-(2x-1)2x/x2+1 ^2

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 3.999987

Soal - soal dibawah ini kerjakan secara mannual dan menggunakan IDE RSudio:

1y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 )

2y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)

3y = 1/S^2+1

4y = 1/S^2–3*S+9

Pengerjaan dan pembahasan Soal 1

Penyelesaian Manual

Jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
    ℎ(x) = x^2 + 7 

    g′(x) = 12*x^3 + 4*x
    ℎ′(x) = 2*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
    ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140
  1. masukkan kedalam fungsi dan operasikan

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261

Pengerjaan dan pembahasan Soal 2

y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)

Penyelesaian manual

Jika y = x^3 + (3(x^2)) (4*(x^2) + 2) dengan x=1 h=0.05; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = x^3 + 3*x^2
    ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

    g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
    ℎ′(x) = 8*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
    ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

Pengerjaan dan pembahasan Soal 3

y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05

Penyelesaian Rstudio

findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -2.010038

Pengerjaan dan pembahasan Soal 4

y= 1/4(S^2)–(3S)+9

Jika y = 1/4(S2)–(3S)+9 dimisalkan s=x maka, y = 1/4(x2)–(3x)+9 , x=1, h=0.05

Penyelesaian RStudio

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -5.040151

sumber : https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff