Penerapan Fungsi Diferensial dalam Platform RStudio

Dosen Pengempu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

UIN Maulana Malik Ibrahim Malang - Teknik Informatika

Metode Beda Hingga

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan dibawah ini

        f′(x) ≈ f(x+h) − f(x)h

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan diatas dimana h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x) dan f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu : metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Kedua persamaan dibawah ini menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Metode Selisih Maju :

    f′(x)=((f(x+h)−f(x))/h)−((h/2)f′′(c))

Metode Selisih Mundur :

    f'(x)=((f(x)-f(x−h))/h)−((h/2)f′′(c))

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x.Persamaan dibawah merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

    f′(x) = (f(x+h) − f(x)/h) - (h/2)f"(c)

Bagaimana menentukan h? Beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan.

Kita dapat menggunakan Persamaan-persamaan di atas untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut :

Contoh !!

Hitunglah turunan pertama persamaan berikut menggunakan metode selisih titik tengah pada x=1 dan nilai h=0,05!

f(x)=e−xsin(2x)+1

findiff(function(x)
  exp(-x)*sin(2*x)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -0.6390352

LEMBAR KERJA SISWA

Contoh soal turunan fungsi menggunakan Rstudio :

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Penyelesaian :

## [1] 424385.1

Turunan Fungsi

Soal 1

y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

Penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

Soal 2

y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 5 adalah

Penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
  method="central")

## [1] 34

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Beberapa pernyataan yang menjadi dasar antara lain sebagai berikut :

Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi _f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.
Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi _f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.
Jika f(x) = x^n dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nx^(n–1).

LEMBAR KERJA SISWA

Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat :

Jika

ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

Penyelesaian dalam RStudio

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 17.23269

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Soal 1

  y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan a=2, x=1, h=0.05

Penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 18.03

Soal 2

  y = abx3 + 3x2 dengan dimisalkan a= 1 b= 2 x= 1 h=0.05

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 12.005

Sifat – sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi–fungsi dalam x sehingga u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku :

Jika y = u, maka y’ = k (u’)
Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′
Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′
Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′
Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

Contoh penerapan sifat-sifat turunan

jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian secara manual

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4
*

Untuk Penyelesaian dengan RStudio, mari lakukan latihan berikut !!

LEMBAR KERJA SISWA

Soal sifat-sifat turunan :

Jika ƒ(x) = 2x-1/x^2+1, maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian pada RStudio

Jika ƒ(x) = 2x-1/x^2+1 , x=1, h=0.05

Sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)

Maka langkah-langkah yang harus di lakukan:

Tentukan u, u’, v, v’.

u = 2*x-1 v = x^2+1

u’= 2 v’= 2x
Masukkan kedalam sifat dan operasikan

ƒ’(x) = 2(x^2+1) - (2x-1)2x / ((x²⁾⁺¹⁾2

Penyelesaian Manual

f'(x) = u'.v - u.v' / v^2

      = 2(x^2+1)-(2x-1)2x/((x^2)+1)^2
      
f'(1) = (2.2) - 2 / 4
      
      = 1/2 atau 0.5

Penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
 (2*x-1)/(x^2+1) , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 0.5012492

Sifat - Sifat Turunan

Selanjutnya kerjakan soal-soal dibawah ini dengan dan tanpa menggunakan RStudio!!

y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7)
y= (x^3 + 3x^2)(4x2 + 2)
y = 1/3x^2+1
y = 1/4x^2–3x+9

Soal 1

Penyelesaian Manual

u = 3*x^4+2*x^2+x
v = x^2 + 7 

u′ = 12*x^3 + 4*x
v′ = 2*x

ƒ'(x) = u'.v + u.v'

ƒ'(x) = ((12*x^3) + (4*x))*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x

ƒ'(1) = 17*8 + 6*2

      = 148

Penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*(x^2)+x)*((x^2) + 7)  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 148.3826

Soal 2

Penyelesaian Manual

u = (x*3)+(3*x^2)
v = (4*x^2)+2

u' = (3*x^2)+6*x
v' = 8*x

f'(x)  = u'.v + u.v'

f'(x)  = ((3*x^2)+6*x)*((4*x^2)+2) + (x^3+3*(x^2))*8x

f' (1) = (3+6)*(4+2) + ((1+3)*8)

       = 54 + 32
      
       = 86

Pembahasan dengan RStudio

findiff(function(x)
  ((x^3)+(3*x^2))*((4*x^2)+2)  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 86.22503

Soal 3

Pembahasan Manual

y     = 1/(3*x^2 + 1)

y'(x) = (3*x^2 + 1)^(-1)

y'(1) = -1*(3*x^2 +1)^(-2)*(6*x)

      = -6*x/(3*x^2+1)^2
   
      = -6/16
   
      = -0.375

Pembahasan dalam RStudio

findiff(function(x)
  ((3*x^2)+1)^(-1)  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -0.3757031

Soal 4

Pembahasan Manual

y         = 1/(4*x^2-3*x+9)^(-1)

y'(x)  = -1*(4*x^2-3*x+9)^(-2)*(8*x-3)

       = -8*x+3/(4*x^2-3*x+9)^2
       
y'(1)  = -5/(4-3+9)^2
       
       = -5/100

       = -0.04

Penyelesaian dalam RStudio

findiff(function(x)
  (4*x^2-(3*x)+9)^(-1)  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -0.04993129

Sekian Penjelasan mnengenai Fungsi Diferensial. SEMOGA PAHAM

Referansi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#finitediff

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.

Penerapan Fungsi Diferensial dalam Platform RStudio

Nova Rahma Yunida P

10/5/2021

Metode Beda Hingga

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Sifat – sifat Turunan

Referansi