Operasi Hitung Diferensiasi Numerik pada RStudio

Lembaga : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

1. Fungsi Turunan (Diferensial)

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan (9.1).

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (1.1) dimana ℎ mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai ℎ sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai ℎ pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan 𝑓 ( 𝑥 ) dan 𝑓 ( 𝑥 + ℎ ) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Contoh Soal Fungsi Turunan

Jika \(f(x) = 3x^2 + 2x + 4\) maka turunan \(f\) adalah

Penyelesainan secara manual :

3x² + 2x + 4

= (3*2x^2-1) +(2*1x^1-1)

= 6x + 2

Penyelesaian dengan RStudio :

turunan <- function(x)
D(expression((3*x^2)+(2*x)+4),"x")
deriv(~exp((3*x^2)+(2*x)+4),"x")

## expression({
##     .expr3 <- 2 * x
##     .expr6 <- exp(3 * x^2 + .expr3 + 4)
##     .value <- .expr6
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .grad[, "x"] <- .expr6 * (3 * .expr3 + 2)
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     .value
## })

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika \(f(x) = 3x^8 - 5x^6 + x^4 - x - 11\), maka turunan dari \(f(x)\) adalah

Penyelesainan secara manual :

3x⁸ - 5x⁶ + x⁴ -x -11

= (3*8x^8-1) + (1*4x^4-1 ) - 1

= 24x⁷ + 4x³ - 1

Penyelesaian dengan RStudio :

turunan <- function(x)
D(expression((3*x^8)-(5*x^6)+(x^4)-x -11),"x")
deriv(~exp((3*x^8)-(5*x^6)+(x^4)-x-11),"x")

## expression({
##     .expr10 <- exp(3 * x^8 - 5 * x^6 + x^4 - x - 11)
##     .value <- .expr10
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .grad[, "x"] <- .expr10 * (3 * (8 * x^7) - 5 * (6 * x^5) + 
##         4 * x^3 - 1)
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     .value
## })

\(y = 3x^4 + 2x^2 + x\), maka turunan \(y\) adalah

Penyelesainan secara manual :

3x⁴ + 2x² + x

= (3*4x^4-1) + (2*2x^2-1) + 1x^1-1

Penyelesaian dengan RStudio :

turunan <- function(x)
D(expression((3*x^4)+(2*x^2)+ x),"x")
deriv(~exp((3*x^4)+(2*x^2)+ x),"x")

## expression({
##     .expr7 <- exp(3 * x^4 + 2 * x^2 + x)
##     .value <- .expr7
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .grad[, "x"] <- .expr7 * (3 * (4 * x^3) + 2 * (2 * x) + 1)
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     .value
## })

\(y = x^3 + 3x^2\), maka turunan \(y\) adalah

Penyelesainan secara manual :

x³ + 3x²

=(3x^3-1) + (3*2x^2-1)

= 3x² + 6x

Penyelesaian dengan RStudio :

turunan <- function(x)
D(expression((x^3)+(3*x^2)),"x")
deriv(~exp((x^3)+(3*x^2)),"x")

## expression({
##     .expr3 <- 3 * x^2
##     .expr5 <- exp(x^3 + .expr3)
##     .value <- .expr5
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .grad[, "x"] <- .expr5 * (.expr3 + 3 * (2 * x))
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     .value
## })

Contoh Soal Fungsi Turunan (jika (x) diketahui)

Jika \(f(x) = 3x^2+2x+4\), maka turunan \(f\) di \(x = 2\) adalah

Penyelesainan secara manual :

3x²+2x+4

=(3*2x^2-1 ) + (2*1x^1-1 )

= 6x + 2

x = 2 -> 6 (2) + 2 = 14

Penyelesaian dengan RStudio :

findiff(function(x)
  3*(x^2)+(2*(x))+4, x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] 14

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika \(f(x) = 3x^8 - 5x^6 + x^4 - x - 11\), maka turunan \(f(x)\) di \(x = 3\) adalah

Penyelesainan secara manual :

3x⁸ - 5x⁶ + x⁴ -x - 11

=(3*8x^8-1 ) - (5*6x^6-1 ) + (4x^4-1 ) - (1x^1-1)

= 24x⁷ - 30x⁵ + 4x³ - 1

x = 3 -> 24(3)⁷ - 30(3)⁵ + 4(3)³ - 1 = 45.400

Penyelesaian dengan RStudio :

findiff(function(x)
  (3*(x^8))-(5*(x^6))+(x^4)-x-11, x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 45400.37

\(y = 3x^4 + 2x^2 + x\), maka turunan di \(x = 4\) adalah

Penyelesainan secara manual :

3x⁴ + 2x² + x

=(3*4x^4-1 ) - (2*2x^2-1 ) + (1x^1-1 )

= 12x³ - 4x + 1

x = 4 ->12(4)³ - 4(4) + 1 = 785

Penyelesaian dengan RStudio :

findiff(function(x)
  3*(x^4)+(2*(x^2))+x, x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

\(y = x^3 + 3x^2\), maka turunan di \(x=3\) adalah

Penyelesainan secara manual :

x³ + 3x²

= (3x^3-1 ) + (3*2x^2-1 )

= 3x² + 6x

x = 3 -> 3(3)² + 6(3) = 126

Penyelesaian dengan RStudio :

findiff(function(x)
  x^4+(3*(x^2)), x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 126.03

2. Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Adapun dasar - dasar pengoperasian diferensiasi fungsi konstanta dan pangkat, yaitu :

Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.
Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.
Jika f(x) = xⁿ dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxⁿ^–1.

Contoh Soal Fungsi Konstanta dan Pangkat

Jika\(f(x) = x^5\), maka turunan dari fungsi \(f\) adalah

Penyelesaian secara manual :

f(x)’ = 5x^5-4

f(x)’ = 5x⁴

Penyelesaian dengan RStudio :

findiff(function(x)
  (x^5), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 5.025006

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika \(f(x) = 5x^6 - 2x^4 + x^3 - 8x +3\), maka turunan dari fungsi \(f\) adalah

Penyelesaian secara manual :

y = 5x⁶ - 2x⁴ + x³

y’ = ( 4 * 3x^4-1 ) ( 2 * 2x^2-1 ) + ( 1 * ax^1-1 )

y’ = 12x³ + 4x + a

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 1

findiff(function(x)
  5*(x^6)-(2*(x^4))+(x^3)+(8*x)+3, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 33.23269

\(y = 3x^4 + 2x^2 +ax\), maka turunan dari fungsi \(y\) adalah

Penyelesaian secara manual :

y = 3x⁴ + 2x² + ax

y’ = ( 4 * 3x^4-1 ) + ( 2 * 2x^2-1 ) + ( 1 * ax^1-1 )

y’ = 12x³ + 4x + a

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan a = 3, x = 1

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 3*x, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 19.03

\(y = abx^3 + 3x^2\), maka turunan dari fungsi \(y\) adalah

Penyelesaian secara manual :

y = abx³ + 3x²

y’ = ( 3 * abx^3-1 )+ ( 2 * 3x^2-1 )

y’ = 3abx² + 6x

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan a = 2, b = 2, x = 1

findiff(function(x)
2*2*(x^3) + 3*(x^2), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 18.01

3. Sifat-sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

Jika y = 𝑘 * 𝑢, maka y’ = 𝑘 * (𝑢’)
Jika y = 𝑢 + 𝑣, maka y’ = 𝑢’ + 𝑣′
Jika y = 𝑢 − 𝑣, maka y’ = 𝑢’ − 𝑣′
Jika y = 𝑢 * 𝑣, maka y’ = 𝑢’v + 𝑢 𝑣′
Jika y = 𝑢 / 𝑣, maka y’ = 𝑢’v – 𝑢 𝑣’ / 𝑣²

Contoh Soal Sifat-sifat Turunan

Jika \(f(x) = (3x^5 + 2x)(4x + 7)\), maka turunan dari \(f(x)\) adalah

Penyelesaian secara manual :

Jika f(x) = g(x) . h(x)

g(x) = 3x⁵ + 2x

h(x) = 4x + 7

g’(x) = 15x⁴ + 2

h’(x) = 4

f’(x) = g’(x) . h(x) + g(x) . h’(x)

f’(x) = (15x⁴ + 2)(4x + 7) + (3x⁵ + 2x) 4

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 1

findiff(function(x)
(3*x^5 + 2*x)*(4*x + 7), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 208.1256

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika \(f(x) = 2x - 1 / x^2 + 1\), maka turunan dari \(f(x)\), adalah

Penyelesaian secara manual :

jika f(x) = u / v

u = 2x - 1

v = x² + 1

u’ = 2

v’ = 2x

f’(x) = (u’v - uv’)/v²

f’(x) = (2 . (x² + 1) - (2x -1) 2x)/(x² + 1)²

f’(x) = -2x² + 2x -2 / ( x² -1 )²

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 2

findiff(function(x)
((2*x)-1)/((x^2)+1), x=2, h=0.05,
  method="central")

## [1] -0.07984789

\(y = (3x^4 + 2x^2 + x)(x^2 + 7)\)

Penyelesaian secara manual :

jika y = u . v

u = 3x⁴ + 2x² + x

v = x² + 7

u’ = 12x³ + 4x

v’ = 2x

y’ = u’ . v + u . v’

y’ = (12x³ + 4x) (x² + 7) + (3x⁴ + 2x² + x) (2x)

y’ = 12x⁵ + 88x³ + x² + 28x + 7 + 6x⁵ + 4x³ + 2x²

y’ = 18x⁵ + 92x³ + 3x² + 28x + 7

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 1

findiff(function(x)
(3*x^4+2*x^2+x)*(x^2+7) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] 148.3826

\(y = (x^3+3x^2)(4x^2 + 2)\)

Penyelesaian secara manual :

jika y = u . v

u = x³ + 3x²

v = 4x² + 2

u’ = 3x² + 6x

v’ = 8x

y’ = u’ . v + u . v’

y’ = (3x² + 6x) (4x² + 2) + (x³ + 3x²) (8x)

y’ = 12x⁴ + 6x² + 24x³ + 12x + 8x⁴ + 24x³

y’ = 20x⁴ + 48x³ +6x²

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 1

findiff(function(x)
(x^3+3*x^2)*(4*x^2+2) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] 86.22503

\(y = 1 / ( 3x^2 + 1)\)

Penyelesaian secara manual :

y = 1 / ( 3x² + 1 )

y’ = - ( 6x² ) / ( 3x² + 1 )

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 1

findiff(function(x)
1/((3*x^2)+1) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] -0.3757031

\(y = 1 / ( 4x^2 - 3x + 9 )\)

Penyelesaian secara manual :

y = 1 / ( 4x² - 3x + 9 )

y’ = ( 3 - 8x ) / ( 4x² - 3x + 9 )²

Penyelesaian dengan RStudio :

dimisalkan x = 1

findiff(function(x)
1/((4*x^2)-(3*x)+9) , x=1, h=0.05,
method="central")

## [1] -0.04993129

sumber :

Suhartono. 2015. Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang : UIN Maliki Malang.

Rosidi, M. Metode Numerik Menggunakan R untuk Teknik Lingkungan. https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#finitediff

summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Operasi Hitung Diferensiasi Numerik pada RStudio

Nurul Izzah, Prof. Dr. Muhammad Suhartono, M.Kom

5 Oktober 2021

1. Fungsi Turunan (Diferensial)

Contoh Soal Fungsi Turunan

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh Soal Fungsi Turunan (jika (x) diketahui)

Lembar Kerja Mahasiswa

2. Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Contoh Soal Fungsi Konstanta dan Pangkat

Lembar Kerja Mahasiswa

3. Sifat-sifat Turunan

Contoh Soal Sifat-sifat Turunan

Lembar Kerja Mahasiswa