Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik INformatika

Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan (9.1).

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x) dan f(x+h)

terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Persamaan (9.2) dan (9.3)

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

Persamaan (9.4)

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Hitunglah turunan pertama persamaan berikut menggunakan metode selisih titik tengah pada x =1 dan nilai h=0,05!

f(x)=e−xsin(2x)+1

Jawab:

Untuk menghitung turunan pertama menggunakan metode selisih tengah, kita dapat menggunakan Persamaan (9.4). Berikut adalah proses perhitungannya:

findiff(function(x)
exp(-x)*sin(2*x)+1, x=1, h=0.05,
method="central")
## [1] -0.6390352
## [1] -0.639

Lembar Kerja Mahasiswa

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 424385.1
## [1] 424385.1

Soal 1

y = 3x^4 + 2x^2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

Penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 785.12
## [1] 785.12

Soal 2

y = x3 + 3x^2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Penyelesaian

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 22
## [1] 22

Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

  1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

  2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

  3. Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1.

Lembar Kerja Mahasiswa

Soal turunan fungsi konstanta dan pangkat :

Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

Penyelesaian

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 17.23269
## [1] 17.23269

Soal 1

y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan dengan a= 2, x= 1, h= 0.05.

Penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 18.03
## [1] 18.03

Soal 2

y = abx^3 + 3x^2 dengan dimisalkan dengan a = 1, b = 2, x= 1, h= 0.05

Penyelesaian

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 12.005
## [1] 12.005

Sifat-Sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

    1. Jika y = ku, maka y’ = k (u’)
    1. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′
    1. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′
    1. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′
    1. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

Lembar Kerja Mahasiswa

Soal 1

Jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

  • penyelesaian secara manual
g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
    ℎ(x) = x^2 + 7 

    g′(x) = 12*x^3 + 4*x
    ℎ′(x) = 2*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
    ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140
  • penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
(3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261
## [1] 29.17261

Soal 2

Jika y= (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)

  • penyelesaian secara manual
g(x) = x^3 + 3*x^2
    ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

    g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
    ℎ′(x) = 8*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
    ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)
  • penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225
## [1] 63.1225

Soal 3

Jika y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05

  • penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -2.010038
## [1] -2.010038

Soal 4

Jika y= 1/4(S^2)–(3S)+9

dimisalkan s=x maka, y = 1/4(x2)–(3x)+9 , x=1, h=0.05

  • penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -5.040151
## [1] -5.040151