Jurusan : Teknik Informatika

Lembaga : Universitas Maulana Malik Ibrahim Malang

Turunan Fungsi Diferensial

5.1 Pengertian Fungsi Turunan (Diferensial)

Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input.Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation).Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan :

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan di atas dimana h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f (x) dan f (x + h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran errormenggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

Bagaimana menentukan h? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).

Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai h menggunakan Persamaan (9.6).

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
if(is.null(method)){
warning("please select a method")
}else{
if(method == "forward"){
return((f(x+h)-f(x))/h)
}else if(method=="backward"){
return((f(x)-f(x-h))/h)
}else if(method=="central"){
return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
}else{
warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh soal turunan fungsi menggunakan RStudio

  • Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

    Penyelesaian :

    findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=3, h=0.05,
  method="central")
    ## [1] 59889.84

  1. Soal Pertama

    y = 3x^4 + 2x^2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

   findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 785.12

  1. Soal Kedua

    y = x^3 + 3x^2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 22

5.2 Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Beberapa sifat yang menjadi dasar antara lain :

  1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0

  2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

  3. Jika f(x) = x^n dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nx^n–1

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh soal turunan fungsi Konstanta dan Pangkat

  • Jika ƒ(x) = 5x^6 − 2x^4 + x^3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

    Penyelesaian :

5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")

  1. Soal Pertama

    y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan dengan x= 2, h= 0.05.

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=2, h=0.05,
  method="central")
## [1] 106.06

  1. Soal Kedua

    y = abx3 + 3x2 , dimisalkan a=1 b=3 x=1 h=0.05

findiff(function(x)
1*3*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 15.0075

5.3 Sifat – sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

  1. Jika y = ku, maka y’ = k (u’)

  2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

  3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

  4. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′

  5. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

Contoh Soal dan Pembahasannya. jika f(x) = (3x^5 + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah Penyelesaian secara Manual :

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

Jika f(x) = g(x).h(x)

g (x) = 3x5 + 2x 
ℎ (x) = 4x + 7 
g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
f'(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh soal Sifat-Sifat Turunan menggunakan RStudio

  • Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah
 u = 2*x-1
 v = x^2+1

 u'= 2
 v'= 2x

Penyelesaian :

 findiff(function(x)
 2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
   method="central")
## [1] 3.999987

  1. Soal Pertama

    y = (3x^4+2x^2+x)(x^2 + 7 )

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261

  1. Soal Kedua

    y = (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

  1. Soal Ketiga

    y = 1/(3*(x2)+1)2

findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -2.010038

  1. Soal Keempat

    y = 1/(4(x^2)+3(x+2))^3

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -5.040151

Daftar Pustaka

  1. https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial

  2. https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html

  3. Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.