Pembahasan dan Penyelesaian soal Turunan Fungsi Menggunakan RStudio

Universitas : UIN MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

Jurusan : TEKNIK INFORMATIKA

Pengertian Turunan fungsi

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan.Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.Konsep turunan fungsi yang universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya marginal, total penerimaan dan biaya produksi, dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

contoh penyelesaiain soal

1. Jika ƒ(x) = 3(x^8) + 5(x^6) + x*4−x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 424385.1

pengerjaan soal dengan RStudio

1. y = 3x^4 + 2x^2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

2. y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

penyelesaian

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 22

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1

3. Jika f(x) = x^n dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nx^n–1

Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat :

Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

penyelesaian

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 17.23269

pengerjaan soal dengan RStudio

1. y=3(x^4)+2(x2)+2*x yang dimisalkan a=2, x=1, h=0.05

penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 18.03

2. y=abx3 + 3x2 yang dimisalkan a=1, b=2, x=1, h=0.05

penyelesaian

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 12.005

Sifat-Sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. jika y = ku, maka y’ = k(u’)

2. jika y = u+v,maka y’= u’+ v’

3. jika y = u-v,maka y’= u’- v’

4. jika y = u v,maka y’= u’v + uv’

5. jika y = u/v, maka y’ = u’v-uv’/v^2

Contoh penerapan sifat-sifat turunan dan Pembahasannya

jika f(x) = (3x5 + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

penyelesaian secara manual :

Jika f(x) = g(x).h(x)

    g(x) = 3x^5 + 2x
    h(x) = 4x + 7
    g'(x) = 15x^4 + 2
    h'(x) = 4
    f'(x) = g'(x).h(x) + g(x).h'(x)
    f'(x) = (15x^4 + 2).(4x + 7)+(3x^5 + 2x).4
    

penyelesaian dengan RStudio

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 29.17261

pengerjaan soal dengan RStudio

1. y = (3x^4 + 2x^2+x)(x2 + 7) dengan x=1 h=0.0.471; f(x) = g(x).h(x)

penyelesaian

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 29.17261

2. y = (x^3 + 3x^2)(4x2 + 2)

penyelesaian

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 63.1225

3. y = 1/S^2 + 1 jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s = x maka,1/(x^2)+1, h=0.05

penyelesaian

findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -2.010038

4. y = 1/4(S^2)-(3S)+9

penyelesaian

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -5.040151

Referensi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/interpolation.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan

<Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang : MAlang>