Universitas : UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

1. Turunan Fungsi

Turunan Fungsi atau yang disebut juga sebagai diferensial merupakan suatu fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya. Contohnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai yang tidak beraturan.

Konsep turunan sebagai bagian utama dari materi kalkulus dipikirkan pada waktu yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika sekaligus Fisika berkebangsaan inggris yang bernama Sir Isaac Newto (1642 – 1727). Serta oleh seorang ahli matematika berbangsa Jerman yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Turunan atau diferensial dipakai sebagai sebuah alat untuk menyelesaikan berbagai permasalah yang dijumpai di dalam bidang geometri dan mekanika. Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali dimanfaatkan di dalam berbagai bidang keilmuan.

Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut :

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x = 4, h = 0.05,
  method="central")
## [1] 424385.1

Soal 1

y = 3x^4 + 2x^2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x = 4, h = 0.05,
  method="central")
## [1] 785.12

Soal 2

y = x^3 + 3x^2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x = 3, h = 0.05,
  method="central")
## [1] 22

2. Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

  1. Fungsi konstan adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n = bilangan real.
  2. Misalkan diketahui fungsi pangkat dengan bentuk f(x) = x^n dengan n bilangan bulat positif.

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Jika ƒ(x) = 5x^6 − 2x^4 + x^3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x = 1, h = 0.05,
  method="central")
## [1] 17.23269

Soal 1

y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan a = 2, x = 1, h = 0.05.

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 18.03

Soal 2

y = abx^3 + 3x^2 dengan dimisalkan a = 1, b = 2, x = 1, h = 0.05

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 12.005

3. Sifat – sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku :

  1. Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x) ± v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v’(x), maka turunan dari f(x) adalah : f’(x) = u’(x) ± v’(x)
  1. Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x).v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v’(x), maka turunan dari f(x) adalah : f’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
  1. Jika diketahui fungsi y = f(x) = u(x)/v(x).u(x).v(x) dengan turunan dari u(x) adalah u‘(x) dan turunan dari v(x) adalah v’(x), maka turunan dari f(x) adalah : f’(x) = u’(x).v(x)-u(x).v’(x)/v^2(x)

Contoh Soal dan Pembahasannya.

jika f(x) = (3x^5 + 2x)(4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian secara manual :

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x^5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x^4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x^4 + 2).(4x + 7) + (3x^5 + 2x).4

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Jika ƒ(x) = 2*s-1 /s^2+1, maka turunan dari f(x) adalah

  • Penyelesaian >Jika ƒ(x) = 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, 2x-1 /x^2+1 , x=1, h=0.05 >sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)

langkah-langkah yang harus di lakukan :

  • tentukan u, u’, v, v’.
u = 2*x-1
v = x^2+1
 
u'= 2
v'= 2x
  • masukkan kedalam sifat dan operasikan

ƒ(x)’ = 2(x3+1)-(2x-1)2x/x2+1^2

  • Penyelesaian
findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 3.999987

Soal – soal dibawah ini kerjakan secara mannual dan menggunakan IDE RSudio :

  1. y = (3x4+2x2+x)(x^2 + 7 )
  1. y = (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)
  1. y = 1/3S^2+1
  1. y = 1/4S^2–3*S+9

Pengerjaan dan pembahasan Soal 1

  • Penyelesaian manual :

Jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x = 1 h = 0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
ℎ(x) = x^2 + 7 

g′(x) = 12*x^3 + 4*x
ℎ′(x) = 2*x

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140
  • Penyelesaian Rstudio :
findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261

Pengerjaan dan pembahasan Soal 2

Jika y = x^3 + (3(x^2)) (4*(x^2) + 2) dengan x = 1 h = 0.05; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

  • Penyelesaian manual :
g(x) = x^3 + 3*x^2
ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
ℎ′(x) = 8*x

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)
  • Penyelesaian Rstudio :
findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

Pengerjaan dan pembahasan Soal 3

  • Penyelesaian Rstudio :
findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -2.010038

Pengerjaan dan pembahasan Soal 4

  • Penyelesaian Rstudio :
findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] -5.040151

Referensi

https://www.danlajanto.com/2016/02/turunan-fungsi.htm

https://www.yuksinau.id/turunan-fungsi-aljabar/

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html