Universitas : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

5.1 Pengertian Turunan Fungsi (Diferensial)

Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

9.1

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana hh mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai hh sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai hh pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x)f(x) dan f(x+h)f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

Bagaimana menentukan h ? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).

Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai h menggunakan Persamaan (9.6).

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Lembar Kerja mahasiswa

contoh turunan fungsi menggunakan Rstudio

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Penyelesaian

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 424385.1

Soal 1 turunan fungsi

y = 3x^4 + 2x^2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

penyelesaiannya

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

Soal 2 turunan fungsi

y = x3 + 3x^2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

penyelesaiannya

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 22

5.2 Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Beberapa pernyataan yang menjadi dasar antara lain sebagai berikut.

1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.
1. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.
1. Jika f(x) = x^n dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nx^n–1.

Lembar Kerja mahasiswa

Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat :

Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

penyelesaiannya

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 17.23269

Soal 1 turunan fungsi konstanta dan pangkat

y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan dengan a= 2, x= 1, h= 0.05.

penyelesaiannya

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 18.03

Soal 2 turunan fungsi konstanta dan pangkat

y = abx^3 + 3x^2 dengan dimisalkan dengan a = 1, b = 2, x= 1, h= 0.05

penyelesaiannya

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 12.005

5.3 Sifat - sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. Jika y = ku, maka y’ = k (u’)
1. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′
1. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′
1. Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′
1. Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

contoh penerapan sifat sifat turunan

jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

penyelesaian secara manual

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

Lembar Kerja mahasiswa

Contoh soal sifat-sifat turunan :

Jika ƒ(x) = 2*s-1 /s^2+1, maka turunan dari f(x) adalah

penyelesaian di Rstudio

Jika ƒ(x) = 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, 2x-1 /x^2+1 , x=1, h=0.05 sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)

langkah-langkah yang harus di lakukan:

tentukan u, u’, v, v’.

u = 2*x-1
 v = x^2+1
 
 u'= 2
 v'= 2x

masukkan kedalam sifat dan operasikan

ƒ(x)’ = 2(x^{3+1)-(2x-1)2x/x}2+1 ^2

findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 3.999987

Soal 1

jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

penyelesaian secara manual

g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
    ℎ(x) = x^2 + 7 

    g′(x) = 12*x^3 + 4*x
    ℎ′(x) = 2*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
    ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140

penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 29.17261

Soal 2

y= (x^3 + 3x^2)(4x2 + 2)

penyelesaian secara manual

g(x) = x^3 + 3*x^2
    ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

    g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
    ℎ′(x) = 8*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
    ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)

penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 63.1225

Soal 3

y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05

penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -2.010038

Soal 4

y= 1/4(S^2)–(3S)+9

Jika y = 1/4(S2)–(3S)+9 dimisalkan s=x maka, y = 1/4(x2)–(3x)+9 , x=1, h=0.05

penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -5.040151

Daftar Pustaka

https://rumuspintar.com/turunan/#:~:text=Kesimpulan-,Definisi%20Turunan,suatu%20fungsi%20disebut%20sebagai%20diferensiasi.

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.

Penggunaan dan Penjelasan Fungsi Diferensial pada Rstudio (RMarkdown)

M. Daffa Pramuditya S. , Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

10/4/2021

5.1 Pengertian Turunan Fungsi (Diferensial)

Lembar Kerja mahasiswa

contoh turunan fungsi menggunakan Rstudio

Soal 1 turunan fungsi

Soal 2 turunan fungsi

5.2 Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Lembar Kerja mahasiswa

Soal 1 turunan fungsi konstanta dan pangkat

Soal 2 turunan fungsi konstanta dan pangkat

5.3 Sifat - sifat Turunan

contoh penerapan sifat sifat turunan

Lembar Kerja mahasiswa

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Daftar Pustaka