Turunan Fungsi dan Cara Pengaplikasiannya Pada RStudio

NIM : 210605110007

Lembaga: “Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang”

Fakultas: “Sains dan Teknologi”

Jurusan: “Teknik Informatika”

5.1 Turunan Fungsi (Diferensial)

Apa yang dimaksud dengan turunan diferensial? Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. … Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Contoh soal turunan fungsi (Deferensial)

1.Jika f(x)= 3 * (x^8) - 5(x^6) + x4 - x + 11, maka turunannya adalah berapa jika x kita permisalkan dengan 1?

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 57.67124

2. Jika f(x)= 3 * (x^8) - 5(x^6) + x4 - x + 11, maka turunannya adalah berapa jika x diketahui nilainya 3?

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 59889.84

3.Berapa nilai turunan fungsi jika diketahui y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) dengan nilai h=0.05 dan x = 4 adalah?

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

4. Berapa nilai turunan jika diketahui y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) dengan nilai h=0.05 dan x = 3 adalah?

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")

## [1] 22

5.2 Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Untuk sifat pertama turunan, yaitu aturan fungsi konstanta, kita buktikan dengan menggunakan Definisi Turunan seperti pada tulisan sebelumnya. Dan untuk pembuktian sifat lainnya juga menggunakan definisi tersebut.

Sifat 1.

Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x) = 0 yakni Dx(k) = 0

f’(x) =

  = \lim \sb{h \to 0} \dfrac{k - k}{h}

  = \lim \sb{h \to 0} 0 = 0 \blacksquare

Sifat 2.

Carilah turunan dari f(x) = 5

Untuk mencari turunan dari fungsi konstanta tersebut kita menggunakan definisi turunan menggunakan limit yang telah saya tulis pada postingan sebelumnya. Atau sama caaranya seperti pembuktian diatas.

f’(x) =

  = \lim \sb{h \to 0} \dfrac{5 - 5}{h}

  = \lim \sb{h \to 0} 0 = 0

Sifat 3.

Carilah turunan dari f(x) = 10

f’(x) =

  = \lim \sb{h \to 0} \dfrac{10 - 10}{h}

  = \lim \sb{h \to 0} 0 = 0
  

Contoh soal fungsi Konstanta dan Pangkat

1. Berapa turunan fungsi jika diketahui f(x) = 5x^6 − 2x^4 + x^3 − 8x + 3, dan diketahui nilai x=1, h=0.05. Maka turunan dari fungsi f(x) adalah?

findiff(function(x)
5*(x^6) - 2*(x^4) + x*3 - 8^x + 3, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 8.564667

2. Berapa turunan fungsi jika diketahui y = 3x4 + 2x2 +a x, dengan diketahui nilai x=1 dan h=0.05?

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 18.03

3. Berapa turunan fungsi jika diketahui y = abx3 + 3x2, dengan diketahui nilai x=1 dan h=0.05?

findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 12.005

5.3 Sifat – Sifat Turunan

Misalkan n bilangan rasional, c bilangan konstanta, u(x) dan v(x) fungsi - fungsi diferensiabel dengan turunannya masing-masing u’(x) dan v’(x). Jika f’(x) turunan dari f(x), maka berlaku sifat-sifat : f(x) = c u(x), turunannya f’‘(x) = c u’(x) f(x) = u(x) + v(x), turunannya f’‘(x) = u’(x) + v’(x) f(x) = u(x) . v(x), turunannya f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) f(x) = u(x)/v(x) ; v(x) ≠ 0, turunannya f’(x) = (u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))2 f(x) = u(x)n, turunannya f’(x) = n(u(x))n-1 u’(x)

PEMBAHASAN=

1. f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x)
Misalkan kita mendapat soal, tentukan turunan dari f(x) = 4 . 5x !!!!!

Jawab :
Diketahui :
            f(x) = 4 . 5x   
            c = 4
            u(x) = 5x
            u'(x) = 5

Maka turunannya adalah :
f'(x) = 4 . 5x
f'(x) = 20


2. f(x) = u(x) + v(x), turunannya f''(x) = u'(x) + v'(x)
Misalkan kita mendapat soal, tentukan turunan dari f(x) = 2x + 3x2 !!!!!

Jawab :
Diketahui :
            f(x) = 2x + 3x2
            u(x) = 2x
            u'(x) = 2
            v(x) = 3x2
            v'(x) = 6x

Maka turunannya adalah :
f'(x) = 2 + 6x


3. f(x) = u(x) . v(x), turunannya f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Misalkan kita mendapat soal, tentukan turunan dari f(x) = 2x . 3x2 !!!!

Jawab :
Diketahui :
            f(x) = 2x . 3x2
            u(x) = 2x
            u'(x) = 2
            v(x) = 3x2
            v'(x) = 6x

Maka turunannya adalah :
f'(x) = (2)(3x2) + (2x)(6x)
f'(x) = 6x2 + 12x2
f'(x) = 18x2


4. f(x) = u(x)/v(x) ; v(x) ≠ 0, turunannya f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/(v(x))2
Misalkan kita mendapat soal, tentukan turunan dari f(x) = 4x3/3x2 !!!!!

Jawab :
Diketahui :
            f(x) = 4x3/3x2
            u(x) = 4x3
            u'(x) = 12x2
            v(x) = 3x2
            v'(x) = 6x

Maka turunannya adalah : 
f'(x) = ((12x2)(3x2) - (4x3)(6x))/(3x2)2
f'(x) = (36x4 - 24x4)/9x4
f'(x) = 12x4/9x4
f'(x) = 4/3


5. f(x) = u(x)n, turunannya f'(x) = n(u(x))n-1 u'(x)
Misalkan kita mendapat soal, tentukan turunan dari f(x) = (2x)3

Jawab :
Diketahui :
            f(x) = (2x)3
            u(x) = 2x
            u'(x) = 2 
            n = 3

Maka turunannya adalah :  
f'(x) = 3(2x)3-1 . 2
f'(x) = 3(2x)2 . 2
f'(x) = 3(4x2) . 2
f'(x) = 12x2. 2
f'(x) = 24x2

Kesimpulan

Terdapat 5 sifat turunan fungsi diantaranya : f(x) = c u(x), turunannya f’‘(x) = c u’(x) f(x) = u(x) + v(x), turunannya f’‘(x) = u’(x) + v’(x) f(x) = u(x) . v(x), turunannya f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) f(x) = u(x)/v(x) ; v(x) ≠ 0, turunannya f’(x) = (u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))2 f(x) = u(x)n, turunannya f’(x) = n(u(x))n-1 u’(x)

Contoh Soal Sifat-Sifat Turunan

1. Berapa turunan fungsi jika diketahui f(x) = 2x-1 / x^2+1, maka turunan dari f(x), dengan diketahui nilai x=1 dan h=0.05 adalah?

findiff(function(x)
2*x-1/x^2+1, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 4.010038

2. Berapa turunan fungsi jika diketahui y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan diketahui nilai x=1 dan h=0.05?

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 29.17261

3. Berapa turunan fungsi jika diketahui y= (x^3 + 3x^2)(4x2 + 2) dengan diketahui nilai x=1 dan h=0,05?

findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] 63.1225

4. Berapa turunan fungsi jika diketahui y = 1 / 3*x^2+1 dengan diketahui nilai x=1 dan h=0.05?

findiff(function(x)
1/(3*x^2)+1, x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -0.6700125

5. Berapa turunan fungsi jika diketahui y = 1 / 4x^2 - 3x+9 dengan diketahui nilai x=1 dan h=0.05?

findiff(function(x)
1/(4*x^2)- (x^3+9), x=1, h=0.05,
  method="central")

## [1] -3.505009

Referensi

1. https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#finitediff
2. https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial
3. https://aimprof08.wordpress.com/2012/05/07/turunan-fungsi-konstanta/
4. https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-turunan-fungsi.html