Teknik Informatika

Universitas Maulana Malik Ibrahim Malang

1.Turunan Fungsi Diferensial

Diferensiasi adalah proses mencari suatu garis pada titik yang diberikan. proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan berikut:

Proses diferensiasi dapat dinyatakan sebagai limit Persamaan jika hh mendekati nol(0). Jadi,nilai hh dibuat sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan yang tepat terhadap nilai turunan suatu fungsi. nilai hh pada sejumlah nilai dibuat secara masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. dan harus memastikan f(x)f(x) dan f(x+h)f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan dan Persamaan menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur

Metode nilai tengah dapat menggunakan ukuran langkah hh 2 kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan berbeda dengan kedua metode sebelumnya,error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai xx. Persamaan merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor

Menentukan beberapa literatur dapat menggunakan pendekatan machine error ϵϵ sesuai dengan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan berikut :

Dan untuk metode selisih tengah pendekatan nilai hh menggunakan Persamaan berikut:

untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:


findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh soal

Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Jawaban

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 424385.1

1.Turunan Fungsi

y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah

Jawaban

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")

## [1] 785.12

2.Turunan Fungsi

y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

Jawaban

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 22

2.Sifat-Sifat Turunan

Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1.Jika y = ku, maka y’ = k (u’)

2.Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

3.Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

4.Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′

5.Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2

Contoh Sifat Turunan

jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian secara manual :

Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

g(x) = 3x5 + 2x 
ℎ(x) = 4x + 7 

g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4

ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh Soal

Jika ƒ(x) = 2*s-1 /s^2+1, maka turunan dari f(x) adalah

Penyelesaian pada RStudio:

Jika ƒ(x) = 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, 2x-1 /x^2+1 , x=1, h=0.05

sesuai dengan sifatnya yaitu (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)

maka,langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut:

1.tentukan u, u’, v, v’.
 u = 2*x-1
 v = x^2+1
 
 u'= 2
 v'= 2x

2.masukkan kedalam sifat dan operasikan
ƒ(x)’ = 2(x^3+1)-(2x-1)2x/x^2+1 ^2
Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 3.999987

Soal – soal dibawah ini kerjakan secara mannual dan menggunakan IDE RSudio:

1 y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 )
2 y= (x^3 + 3x^2)(4x^2 + 2)
3 y = 1/S^2+1
4 y = 1/S^2–3*S+9

Jawaban

1.Penyelesaian pada RStudio:
Jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

    g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
    ℎ(x) = x^2 + 7 

    g′(x) = 12*x^3 + 4*x
    ℎ′(x) = 2*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
    
    ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140


Masukkan nilai kedalam fungsi dan operasikan


Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
  
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261
2.y= (x^3 + 3x^2)(4x^2 + 2)
Penyelesaian manual
Jika y = x^3 + (3(x^2)) (4*(x^2) + 2) dengan x=1 h=0.05; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)

    g(x) = x^3 + 3*x^2
    ℎ(x) = 4*(x^2) + 2 

    g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
    ℎ′(x) = 8*x

    ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)

    ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2  + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
    
    ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2  + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)

Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

3.y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05

Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,

  method="central")

## [1] -2.010038

4.y= 1/4(S^2)–(3S)+9

Jika y = 1/4(S2)–(3S)+9 dimisalkan s=x maka, y = 1/4(x2)–(3x)+9 , x=

Penyelesaian dengan Rstudio

findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
 
  method="central")

## [1] -5.040151

Daftar Pustaka

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#diferensiasi-metode-titik-pusat-mengggunakan-fungsidiff

Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.