Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

METODE BEDA HINGGA

Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan (9.1).

                        f′(x)≈ f (x+h)−f (x) h (9.1)

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai h sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai h pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f (x) dan f (x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat tiga buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsidengan menggunakan metode numerik, yaitu:

Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.

                 f′(x)= f (x+h)−f (x) h − h 2f′′(c) (9.2) 


                 f′(x)= f (x)−f (x−h) h − h 2f′′(c) (9.3)

Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah h dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai x. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.

                f′(x)= f (x+h)−f (x−h) 2h − h2 6 f′′′(c) (9.4)

Bagaimana menentukan h? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan.Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).

                          h∗ = x√ϵ (9.5)

Untukmetodeselisihtengahpendekatannilai h menggunakanPersamaan(9.6).

                         h∗ = x 3 √ϵ (9.6)

Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi.

Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){ if(is.null(method)){
  warning("please select a method") 
  }else{
    if(method == "forward"){ return((f(x+h)-f(x))/h) }
    else if(method=="backward")
      { return((f(x)-f(x-h))/h) }
    else if(method=="central")
      { return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h)) }
    else
      { warning("you can use method: forward, bacward, or central")
      } 
    }
  } 
findiff(function(x) 3*(x^2)+ (2*x) +4, x=1, h=0.05, method="central")
## [1] 8
findiff(function(x) 3*(x^2)+ (2*x) +4, x=1, h=0.05, method="forward")
## [1] 8.15

Lembar Kerja Mahasiswa

Contoh Soal Turunan Fungsi Menggunakan Rstudio (Halaman 56 pada Buku Matematika Kalkulus )

findiff(function(x) 3*(x^8)-5*(x^6)+(x^4)-(1*x)+11 , x=3, h=0.05, method="central")
## [1] 45400.37

1.) Soal Pertama Turunan Fungsi

  • y = 3(x^4)+2(x^2)+x maka turunan dari f(x), jika x=1 adalah…..

PENYELESAIAN SOAL:

findiff(function(x) y  = 3*(x^4) + 2*(x^2) + x  , x=1, h=0.05, method="central")
## [1] 17.03

2.) Soal Kedua Turunan Fungsi

  • y = (x^3)+3*(x^2)maka turunan dari f(x), jika x=1 adalah…..

PENYELESAIAN SOAL:

findiff(function(x) y  = (x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05, method="central")
## [1] 9.0025

3.) Soal Ketiga Turunan Fungsi

  • y = 3(x^4) + 2(x^2) + x maka turunan dari f(x), jika x=4 adalah…..

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x) y  = 3*(x^4) + 2*(x^2) + x   , x=4, h=0.05, method="central")
## [1] 785.12

4.) Soal KeEmpat Turunan Fungsi

  • y = (x^3) + 3*(x^2) maka turunan dari f(x), jika x=3 adalah…..

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x) y  = (x^3) + 3*(x^2)    , x=3, h=0.05, method="central")
## [1] 45.0025

Penjelasan Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

Fungsi konstanta adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n = bilangan real. Turunan fungsi Konstan menggunakan limit fungsi sebagai berikut :

Jadi,turunan fungsi yang berbentuk nilai konstan adalah 0. Jika diketahui f(x) = n, dengan n bilangan real, maka f’(x) = 0

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Contoh soal turunan fungsi konstantan dan pangkat (Halaman 61 Pada Buku Matematika Kalkulus)

  • Jika f(x) = 5(x^6) - 2(x^4) + (x^3) - (8*x) + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

PENYELESAIAN :

findiff(function(x)  5*(x^6) - 2*(x^4) + x^3 - (8*x +3) , x=1, h=0.05,  method="central")
## [1] 17.23269

1.) Soal Pertama Turunan Fungsi dan Pangkat

  • y = 3(x^4) + 2(x^2)+ (2*x), misal x=2, h=0.05 adalah…..

PENYELESAIAN :

findiff(function(x) 3*(x^4) + 2*(x^2)+ (2*x)  ,x=2, h=0.05,   method="central")
## [1] 106.06

2.) Soal Kedua Turunan Fungsi dan Pangkat

  • y = ab(x^3) + 3*(x^2), misal a=1,b=2,x=1,h=0.05 adalah…..

PENYELESAIAN : 

findiff(function(x) 1*2*(x^3) + 3*(x^2)  ,x=1, h=0.05,   method="central")
## [1] 12.005

Penjelasan Sifat-Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan , dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

  • jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku:
1.  f(x) = u + v maka f'(x) = u' + v'

2.  f(x) = u - v maka f'(x) = u' - v'

3.  f(x) = c . u maka f'(x) = c . u'

4.  f(x) = u . v maka f'(x) = u' v + u v'

5.  f(x) = u / v maka f'(x) = u' v - v u' / v2

Contoh soal sifat-sifat turunan dan pembahasannya (Halaman 66 Pada Buku Matematika Kalkulus)

  • jika f(x) = (3(x^5))+(2x))((4*x) + 7), maka turunan dari f(x) adalah…..

PENYELESAIAN MANUAL :

Jika f(x) = g(x) . h(x)

g (x) = 3(x^5) + (2x)

h (x) = (4*x) + 7

g’(x) = 15*(x^4) + 2

h’(x) = 4

f’(x) = g’(x) . h’(x) + g(x) . h(x)

f’(x) = (15(x^4). (4x) + 7) + (3(x^5) + (2x)) . 4

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Contoh soal sifat-sifat turunan (Halaman 67 Buku Matematika Kalkulus)

  • Jika f(x) = (2*x) - 1 / (x^2) + 1, misal x=1,h=0.05 maka f’(x) adalah…..

u = (2*x) - 1

v = (x^2) + 1

u’ = 2

v’ = 2x

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x) (2*x) - 1 / (x^2) + 1, x=1, h=0.05, method="central")
## [1] 4.010038

** 1.) Soal Pertama Sifat Turunan **

  • y = (3(x^4) + 2(x^2)+x)*(x^2) + 7

PENYELESAIAN :

findiff(function(x) (3*(x^4)+2*(x^2)+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05, method="central")
## [1] 29.17261

** 2.) Soal Kedua Sifat Turunan **

  • y = (x^3) + 3*(x2)4(x2) + 2

PENYELESAIAN :

findiff(function(x) (x^3) + 3*(x^2)*4*(x^2) + 2 , x=1, h=0.05, method="central")
## [1] 51.1225

** 3.) Soal Ketiga Turunan Fungsi **

  • y = 1 / (3*x^2) + 1

PENYELESAIAN :

##Jika diketahui f(x) = 1 / (3*x^2) + 1

f=expression (1 / (3*x^2) + 1)

#Turunan Pertama
dfx1= D(f, 'x')
dfx1
## -(3 * (2 * x)/(3 * x^2)^2)

** 4.) Soal KeEmpat Sifat Turunan

  • y = 1 / 4(x^2) - (3x) + 9
##Jika diketahui f(x) = (1 / 4*(x^2) - (3*x) + 9)

f=expression (1 / 4*(x^2) - (3*x) + 9)

#Turunan Pertama
dfx1= D(f, 'x')
dfx1
## 1/4 * (2 * x) - 3

R Markdown

This is an R Markdown document. Markdown is a simple formatting syntax for authoring HTML, PDF, and MS Word documents. For more details on using R Markdown see http://rmarkdown.rstudio.com.

When you click the Knit button a document will be generated that includes both content as well as the output of any embedded R code chunks within the document. You can embed an R code chunk like this:

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

Including Plots

You can also embed plots, for example:

Note that the echo = FALSE parameter was added to the code chunk to prevent printing of the R code that generated the plot.