Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Fakultas : Sains dan Teknologi

5.1 Penjelasan Turunan Fungsi Pada RStudio

Turunan Fungsi atau Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan di bawah ini :

Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan di atas dimana h mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai hh sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai hh pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x)f(x) dan f(x+h)f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.

Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor.

1). METODE SELISIH MAJU

  • Metode selisih maju merupakan metode yang mengadopsi secara langsung definisi differensial

  • Pengambilan h diharapkan pada nilai yang kecil agar errornya kecil

  • Error yang dihasilkan

2. METODE SELISIH MUNDUR

3. METODE SELISIH TENGAH

  • Metode selisih tengah merupakan metode pengambilan perubahan dari dua titik sekitar dari titik yang diukur

  • Perhatikan selisih maju pada titik x-h

  • Metode selisih tengah juga merupakan rata-rata dari dua selisih maju pada titik x-h dan titik x :

  • Kesalahan pada metode ini :

Kita dapat menggunakan Persamaan dengan Metode Maju, Metode Mundur, Bahkan Metode Tengah untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut :

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Contoh soal turunan fungsi menggunakan RStudio ( Halaman 56 Pada Buku Matematika Kalkulus )

  • Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah

    PENYELESAIAN :

findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 59889.84

1). Soal Pertama Turunan Fungsi

  • y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah…..

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
  method="central")
## [1] 785.12

2). Soal Kedua Turunan Fungsi

  • y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah……

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
  method="central")
## [1] 22

3). Soal KeTiga Turunan Fungsi

  • y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x =1 adalah……

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 17.03

4). Soal KeEmpat Turunan Fungsi

  • y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 1 adalah……

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 10

5.2 Penjelasan Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Fungsi konstanta adalah fungsi dengan bentuk f(x) = n dengan n = bilangan real. Turunan fungsi konstan menggunakan limit fungsi adalah sebagai berikut :

Jadi, turunan fungsi yang berbentuk nilai konstan adalah 0.

Jika diketahui f(x) = n, dengan n bilangan real, maka f ’(x) = 0

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat (Halaman 61 Pada Buku Matematika Kalkulus)

  • Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah

    PENYELESAIAN :

findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - (8*x +3) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 17.23269

1). Soal Pertama Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

  • y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x , dimisalkan x=2, h=0.05 adalah…..
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=2, h=0.05,
  method="central")
## [1] 106.06

2). Soal Kedua Turunan Fungsi Konstanta dan Pangkat

  • y = abx3 + 3x2 , dimisalkan a=1 b=3 x=1 h=0.05 adalah…..
findiff(function(x)
1*3*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 15.0075

5.3 Penjelasan Sifat-Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.

Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku:

 1.  f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'

 2.  f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'

 3.  f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'

 4.  f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv' 

 5.  f(x) = u/v, maka f’(x) = u’v–u v’/v2

Contoh soal sifat-sifat turunan dan pembahasannya( Halaman 66 pada Buku Matematika Kalkulus)

  • jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah

PENYELESAIAN MANUAL :

Jika f(x) = g(x).h(x)

g (x) = 3x5 + 2x 
ℎ (x) = 4x + 7 
g′(x) = 15x4 + 2 
ℎ′(x) = 4
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
f'(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4

LEMBAR KERJA MAHASISWA

Contoh soal sifat-sifat turunan ( Halaman 67 Buku Matematika Kalkulus)

Jika ƒ(x) = 2x-1 /x^2+1, dimisalkan x=1, h=0.05 maka turunan dari f(x) adalah

u = 2*x-1
v = x^2+1

u'= 2
v'= 2x

PENYELESAIAN SOAL :

findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 3.999987

1). Soal Pertama sifat Turunan

  • y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 )

PENYELESAIAN :

findiff(function(x)
  (3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7  , x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 29.17261

2). Soal Kedua sifat Turunan

  • y = (x^3 + 3x2)(4x2 + 2)
findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
  method="central")
## [1] 63.1225

3). Soal Ketiga sifat Turunan

  • y = 1/(3*(x2)+1)2
#Jika diketahui f(x)= (1/(3*(x^2)+1)^2)
f=expression (1/(3*(x^2)+1)^2)
#Hitung turunan pertama 
dfx1= D(f, 'x')
dfx1
## -(2 * (3 * (2 * x) * (3 * (x^2) + 1))/((3 * (x^2) + 1)^2)^2)

4). Soal KeEmpat sifat Turunan

  • y = 1/(4(x^2)+3(x+2))^3
#Jika diketahui f(x)= 1/(4*(x^2)-3x+9)
f=expression(1/(4*(x^2)+3*(x+2))^3)
#Hitung turunan pertama 
dfx1=D(f, 'x')
dfx1
## -(3 * ((4 * (2 * x) + 3) * (4 * (x^2) + 3 * (x + 2))^2)/((4 * 
##     (x^2) + 3 * (x + 2))^3)^2)

\(Referensi\)