DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1.- Variables aleatorias: Son aquellos resultados del azar en algun evento o experimento

2.- Variables aleatorias discretas: son resultado del conteo de eventos u objetos, numeros enteros.

3.- Variables aleatorias continuas: Son resultado generalmente de la medicion directa de algun fenomeno y sus valores estan dentro de un rango.

Distribucion normal Es la mas utilizada para entender los fenomenos naturales, biologicos, sociales, sistemas.

Continua

1.- Calcular la probabilidad de X sea menor a 48, teniendo una media de 50 y una varianza de 25

pnorm(48, mean = 50, sd = sqrt(25), lower.tail = TRUE)
## [1] 0.3445783

La probabilidad de que obtengamos un valor menor a 48 es de 34.4%

Ahora, cual es la probabilidad de obtener un valor mayor a 48

pnorm(48, mean = 50, sd = sqrt(25), lower.tail = FALSE)
## [1] 0.6554217

Segundo ejemplo de distribucion normal utilizando datos continuos de lluvia para la estacion hermosillo II

Datos

her<- c(16.8, 18.3, 20.4, 23.6, 27.3, 31.7, 32.3, 31.8, 30.8, 26.7, 21.1, 17.0)

Media y desviacion estandar

media<-mean(her)
desviacion<-sd(her)

Cual es la probabilidad de que en hermosillo lluevan 30 milimetros o menos en un mes? Estimar usando la funcion de la densidad de probabilidad normal

pnorm(30, mean=media, sd=desviacion, lower.tail = TRUE)
## [1] 0.8048959

Distribuciones de probabiliad

Funciones en R En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones mas importantes son:

$$

FunciónpqdrSignificadoprobabilityquantiledensityrandomUsoCalcula probabilidades acumuladas (cdf)Calcula cuantiles(percentiles)Calcula probabilidades puntualesGenera datos aleatorios segun una distribucion especificaObservación——Solo uso grafico en el caso continuo— $$

Distribución Exponencial

curve(dexp(x), from = 0, to = 10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10.

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x
##  [1] 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0

#Genera 20 observaciones con distribución B(1, 0.5)

Contando éxitos vs Fracasos

table(x)
## x
##  0  1 
##  7 13

E.g. Distribución normal Si X es una variable aleatoria, con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que X sea menor que 3.5, se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean = 3, sd = 0.5)
## [1] 0.8413447

#p probabilidad, norm de distribución normal. sd desviación estándar

*Para calcular el cuantil 0.7 de una variable aleatoria normal estándar Z, es decir, un valor X tal que

qnorm(0.7)
## [1] 0.5244005

*Para calcular el mismo cuantil, pero para una variable aleatoria normal de media 0 y una desviación tipica/sd 0.5

qnorm(0.7, sd = 0.5)
## [1] 0.2622003

El valor (zα) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)
## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x)

x <-rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x
##   [1] 10.864764 10.761407 12.234735  8.110647 10.782823 11.344952 10.706682
##   [8] 10.888963  8.439464  9.349809  9.584532  9.129183  9.766740 11.185015
##  [15]  9.283038  9.417492 10.478195  9.630117 10.978555  9.487570  9.481051
##  [22] 11.393137 11.545626 10.094095  8.244503 10.572032  8.722897 10.689507
##  [29]  9.397691 11.118673 11.576523  9.136801  8.503318  9.798256  8.272225
##  [36] 10.983463  9.973546 11.499249 10.762065 11.114225  8.909854 11.002826
##  [43]  9.902744 10.195609  9.837625  9.906319  9.743397 10.345357  8.628248
##  [50] 10.849140 10.467893  9.903063 10.282319  9.725269 12.096691  9.750293
##  [57]  9.783265 11.616240 10.706081 10.100244 10.280936 10.570491  8.377858
##  [64] 10.704317 10.460390  8.944516  8.895460 12.403630  8.391006 10.612923
##  [71] 11.450569 10.157874 11.107288  8.717716 10.959161  9.901102  9.744509
##  [78]  9.671046  9.545391 10.731678 11.684303 10.200290 10.629161 10.087238
##  [85]  8.561176 10.293572 10.257528  9.831757  9.280013 10.634712  9.253727
##  [92]  8.718740  9.624147  9.611862 10.467113  9.031587  8.241183 11.416926
##  [99] 11.583463 10.552804

Para estimar el promedio de x

mean(x)
## [1] 10.10645

Histograma de frecuencias

hist(x)

Gráfico de cajas y bigotes

boxplot(x)

Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:

hist(x,freq = FALSE)
#Freq = FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 1), from = 7, to = 13, add = TRUE)

#densidad normal