Pengeoperasian Diferensiasi Numerik Metode Beda Hingga pada Bahasa Pemrograman R

Dosen Pengampu : Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Lembaga : Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Jurusan : Teknik Informatika

Diferensiasi adalah proses mencari slope atau kemiringan suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui persamaan dapat kita lihat pada persamaan dibawah ini.

Untuk dapat melakukan sebuah program menghitung turunan pertama sebuah fungsi pada RStudio aktifkan operasi turunan terlebih dahulu melalui sintaks berikut :

findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
  if(is.null(method)){
    warning("please select a method")
  }else{
    if(method == "forward"){
      return((f(x+h)-f(x))/h)
    }else if(method=="backward"){
      return((f(x)-f(x-h))/h)
    }else if(method=="central"){
      return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
    }else{
      warning("you can use method: forward, bacward, or central")
    }
  }
}

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Numerik dengan metode beda tengah melalui persoalan.

1. Hitunglah turunan pertama f(x)= 3x⁸ - 5x⁶ + x⁴ - x + 11

   Penyelesaian Secara Manual :

   f(x) = 3x⁸ - 5x⁶ + x⁴ - x + 11

   f’(x) = ( 8 * 3x^8-1 ) - ( 6 * 5x^6-1 ) + ( 4 x^4-1 ) - ( 1 * x^1-1 )

   f’(x) = 24x⁷ - 30x⁵ + 4x³ - 1

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama f(x)= 3x⁸ - 5x⁶ + x⁴ - x + 11 dengan x = 1, dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=1, h=0.05,
     method="central")

   ## [1] 57.67124

2. Hitunglan turunan pertama dari y = 3x⁴ + 2x² + x

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = 3x⁴ + 2x² + x

   y’ = (4 * 3x^4-3 ) + ( 2 * 2x^2-1 ) + ( 1 * x^1-1 )

   y’ = 12x³ + 4x + 1

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglan turunan pertama dari y = 3x⁴ + 2x² + x dengan x = 5 dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
     method="central")

   ## [1] 1521.15

3. Hitunglan turunan pertama dari y = x³ + 3x²

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = x³ + 3x²

   y’ =( 3 * x^3-1 ) + ( 2 *3x^2-1 )

   y’ = 3x² + 6x

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglan turunan pertama dari y = x³ + 3x² dengan x = 5 dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   3*x + 3*(x^2) + x , x=5, h=0.05,
     method="central")

   ## [1] 34

Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat

Dasar - dasar pengoperasian difrensiasi fungsi konstanta dan pangkat :

1. Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.

2. Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.

3. Jika f(x) = xⁿ dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nx^n–1.

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Fungsi Konstanta dan Pangkat melalui persoalan.

1. Hitunglah turunan pertama y = 3x⁴ + 2x² + ax

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = 3x⁴ + 2x² + ax

   y’ = ( 4 * 3x^4-1 ) + ( 2 * 2x^2-1 ) + ( 1 * ax^1-1 )

   y’ = 12x³ + 4x + a

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama y = 3x⁴ + 2x² + ax dengan a = 5, x = 4, dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   3*(x^4) + 5*(x^2) + 5*x, x=4, h=0.05,
     method="central")

   ## [1] 813.12

2. Hitunglah turunan pertama y = abx³ + 3x²

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = abx³ + 3x²

   y’ = ( 3 * abx^3-1 )+ ( 2 * 3x^2-1 )

   y’ = 3abx² + 6x

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama y = abx³ + 3x² dengan a = 5, b = 5, x = 4, dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   5*5*(x^3) + 3*(x^2), x=4, h=0.05,
     method="central")

   ## [1] 1224.062

Sifat-sifat Diferensiasi

Turunan dapat diketahui melalui sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat dari diferensiasi, Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :

1. Jika y = k * u, maka y’ = k * (u’)

2. Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′

3. Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′

4. Jika y = u * v, maka y’ = u’v + u v′

5. Jika y = u / v, maka y’ = u’v – u v’ / v2

Contoh Pengeoperasian Diferensiasi dalam sifatnya :

Jika y = u\*v dengan u = 3x^4^ dan v = 2x^2^ , Tentukan turunan pertama y !

y' = u'v + u v′

u = 3x^4^ maka u' = 12x^3^

v = 2x^2^ maka v' = 4x

y' = ( 12x^3^ \* 2x^2^ ) + ( 3x^4^ \* 4x)

y' = 24x^5^  + 12x^5^

y' = 36x^5^

Berikut merupakan pengoperasian Diferensiasi Fungsi dalam sifatnya melalui persoalan.

1. Hitunglah turunan pertama f(x) = 2x - 1 / x² -1

   Penyelesaian Secara Manual :

   f(x) = 2x - 1 / x² -1

   f’(x) = 2 * ( x² -1 ) - ( 2x - 1 ) * 2x / ( x² -1 )²

   f’(x) = -2x² + 2x -2 / ( x² -1 )²

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama f(x) = 2x - 1 / x² -1 dengan x = 2, dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   ((2*2)-1)/((2^2)-1), x=2, h=0.05,
     method="central")

   ## [1] 0

2. Hitunglah turunan pertama y = ( 3x⁴ + 2x² + x ) ( x² + 7 )

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = ( 3x⁴ + 2x² + x ) ( x² + 7 )

   u = 3x⁴ + 2x² + x maka u’ = 12x³+ 4x + 1

   v = x² + 7 maka v’ = 2x

   y’ = ( 12x³+ 4x + 1 ) * ( x² + 7 ) + ( 3x⁴ + 2x² + x ) * ( 2x )

   y’ = 12x⁵ + 88x³ + x² + 28x + 7 + 6x⁵ + 4x³ + 2x²

   y’ = 18x⁵ + 92x³ + 3x² + 28x + 7

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama y = ( 3x⁴ + 2x² + x ) ( x² + 7 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   (3*x^4+2*x^2+x)*(x^2+7) , x=1, h=0.05,
   method="central")

   ## [1] 148.3826

3. Hitunglah turunan pertama y = ( x³ + 3x² ) ( 4x² + 2 )

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = ( x³ + 3x² ) ( 4x² + 2 )

   u = x³ + 3x² maka u’ = 3x² + 6x

   v = 4x² + 2 maka v’ = 8x

   y’ = ( 3x² + 6x ) * ( 4x² + 2 ) + ( x³ + 3x² ) * ( 8x )

   y’ = 12x⁴ + 6x² + 24x³ + 12x + 8x⁴ + 24x³

   y’ = 20x⁴ + 48x³ +6x²

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama y = ( x³ + 3x² ) ( 4x² + 2 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   (x^3+3*x^2)*(4*x^2+2) , x=1, h=0.05,
   method="central")

   ## [1] 86.22503

4. Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 3x² + 1 )

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = 1 / ( 3x² + 1 )

   y’ = - ( 6x² ) / ( 3x² + 1 )

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 3x² + 1 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   1/(3*x^2+1) , x=1, h=0.05,
   method="central")

   ## [1] -0.3757031

5. Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 4x² - 3x + 9 )

   Penyelesaian Secara Manual :

   y = 1 / ( 4x² - 3x + 9 )

   y’ = ( 3 - 8x ) / ( 4x² - 3x + 9 )²

   Penyelesaian Menggunakan RStudio :

   Hitunglah turunan pertama y = 1 / ( 4x² - 3x + 9 ) dengan x = 1 dan h = 0.05

   findiff(function(x)
   1/(4*x^2-3*x+9) , x=1, h=0.05,
   method="central")

   ## [1] -0.04993129

Refrensi

https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/diffinteg.html#finitediff

https://www.rumusstatistik.com/2018/07/sifat-sifat-turunan.html

https://dosen.perbanas.id/diferensial-turunan-dalam-ilmu-ekonomi-dan-bisnis/#:~:text=Pengertian%20%3A,variabel%20bebas%20dari%20fungsi%20tersebut.&text=Maka%20diferensial%20dapat%20diartikan%20sebagai,suatu%20perubahan%20dalam%20variabel%20x.

Suhartono. 2015. Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9. Malang : UIN Maliki Malang.