Introduccion a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la insertidumbre - Wasserman

Conceptos fundamentales de probabilidad

1.- Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad

2.- Interpretación frecuencista de la probabilidad

3.- Probabilidad condicional y su relación con la independencia

4.- Regla de Bayes

Espacio de resultados y eventos

Es espacio de resultados \(\Omega\) el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda 2 veces, entonces

\[ \Omega=\{AA,SS,AS,SA\} \] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan con mayusculas.

Ejemplo: Que el primer lanzamiento resulte Aguila.

\[ A=\{AA, AS\} \]

Evento equiprobables

La probabilidad se puede ver como una proporcion de una parte con respecto a un todo

Ejemplo: Si en ingenieria quimica tenemos 1000 estudiantes, de los cuales

300 son hombres
700 son mujeres

Si elegimos un estudiante al azar de ingenieria quimica. Cual es la probabilidad de que sea hombre?

\[ \frac{300}{700+300}=0.3 \] La probabilidad entonces es de 0.3

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

Ejemplo: Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por 3 hombres y dos mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6} {3} \dbinom {9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

y la funcion para calcular las combinaciones es choose(n,r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

La probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:

lanzamientos_10<- sample(c("A","S"), 10, replace=TRUE)
lanzamientos_10

##  [1] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A"

Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de Aguila.

cumsum(lanzamientos_10=="A")

##  [1] 1 1 1 2 3 3 3 4 5 6

Frecuencias relativa

round(cumsum(lanzamientos_10=="A")/1:10,2)

##  [1] 1.00 0.50 0.33 0.50 0.60 0.50 0.43 0.50 0.56 0.60

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R

En R, cada distribucion de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distibuciones mas importantes son:

Distribucion Alias
Distribucion binomial binom
Distribucion de Poisson pois
Distribucion normal norm
Distribucion exponencial exp
Distribucion t de Student t
Distribucion Chi2 chisq
Distribucion F f

Distribucion Exponencial

curve (dexp(x), from = 0, to=10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribucion binomial

x<- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0

#Genera 20 observaciones con distribucion B(1,0.5)

Contador exitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
## 11  9

Ejemplo: Distribucion normal

si \(X\)es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3, y su desviacion tipica es de 0.5, la probabilidad de que \(X\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean = 3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estandar Z, es decir, un valor x tal que:

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas formulas para invervalos y contrastes obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una poblacion normal de media 10 y desviacion tipica 1 (y guardarla en un vetor x):

x <- rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x

##   [1] 10.538527  9.642414 10.566520 12.037104  9.885751 11.582608 11.807506
##   [8] 11.208145  9.296846 10.893223  8.170226 12.121307  8.804824  9.659751
##  [15] 11.195830 10.935008  9.571999  9.549465  9.651428  9.977269  8.365402
##  [22] 10.352889 11.429870 10.245245 10.703025  9.702749  8.281051 11.782798
##  [29]  9.929148  9.829858 10.845384  9.950424  9.213373 10.263445 10.442543
##  [36] 10.067589 10.583056 10.328991 10.841882  8.472337 10.334649  9.623523
##  [43] 11.797312 10.582571  9.695513 10.505081  9.706575  9.505040 11.839177
##  [50] 10.768626 10.165444 10.102024  9.763072 10.987886  8.412196  9.066496
##  [57]  9.537733  8.739148 10.108863 10.778146 10.312790  9.402055  8.666735
##  [64] 10.227262  8.836782  9.830381 10.984195 10.227290  9.169645 11.131735
##  [71] 10.346307 12.956428  8.260381 11.606943  9.290785 10.169516 10.465518
##  [78]  7.504512  9.652251 10.145114  9.515329  9.324085  8.847033 11.485382
##  [85]  9.048164 10.792956 10.024857  9.307824 10.243003 10.645348 10.961946
##  [92] 11.242082  9.760011 11.453193 10.055760  8.982021 10.647938  7.168862
##  [99]  9.643260  9.619820

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 10.08701

Histograma de frecuencias

hist(x)

Grafico de cajaas y bigotes

boxplot(x)

*Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las areas de los rectangulos sea 1) junto con la densidad de la poblacioon

hist(x, freq = FALSE) #Sirve para que el area del histograma sea 1 
curve(dnorm(x, mean = 10, sd=1), from = 7, to=13, add = TRUE)

Ejercicios:

Si Z es una variable con distribución normal estándar, calcula P(−2.34<Z<4.78).

pnorm(4.78, mean = 0, sd = 1) - pnorm(-2.34, mean = 0, sd = 1)

## [1] 0.9903573

Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.

p <- c(1,1,2,2,5,5,7,7,8,8,9,9)
su <- summary(p)
su

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.000   2.000   6.000   5.333   8.000   9.000

ra <- as.numeric(substr(su[5],1,7)) - as.numeric(substr(su[2],1,7))
ra

## [1] 6

Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.

ta<- rnorm(10, mean = 5, sd = 1)
ta

##  [1] 5.432524 3.349641 4.362681 4.884556 5.552961 5.036381 4.507396 4.936524
##  [9] 4.669172 6.198186

mean(ta)

## [1] 4.893002

ta<- rnorm(10, mean = 5, sd = 1)
ta

##  [1] 6.957105 5.443083 5.316777 5.138473 2.577208 3.759550 7.290355 4.031420
##  [9] 4.096918 6.067443

mean(ta)

## [1] 5.067833

ta<- rnorm(10, mean = 5, sd = 1)
ta

##  [1] 4.145806 7.060121 3.425609 3.996532 6.864337 4.334138 4.577144 4.874324
##  [9] 4.945157 6.025335

mean(ta)

## [1] 5.02485

En las tres muestras hechas hay diferencias muy pequeñas en lo que es la media muestral mientras que en la media poblacional es una diferencias mas notable de datos

Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro λ=1. Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

gn<-rpois(n=1000, 1)
gn

##    [1] 2 0 3 1 1 0 2 1 0 0 0 1 2 0 0 1 2 1 0 1 3 1 0 1 1 0 1 2 0 0 2 1 1 0 3 1 1
##   [38] 1 1 1 0 0 2 1 2 1 2 1 1 1 0 3 0 1 0 1 0 1 2 2 3 0 0 1 0 1 2 0 0 3 1 1 1 1
##   [75] 1 1 1 0 3 0 1 1 1 0 4 2 2 1 0 0 1 0 1 2 0 0 2 2 0 0 1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 0
##  [112] 0 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 0 0 2 2 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 2 1 3 1 0
##  [149] 1 0 3 1 0 1 3 2 1 0 1 1 2 1 1 3 0 6 1 0 1 0 2 0 1 2 1 3 1 4 0 0 1 1 1 0 1
##  [186] 0 0 0 0 0 3 0 2 0 1 3 0 0 0 2 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 4 1 0 1 1 0
##  [223] 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 2 1 2 0 1 2 1 0 1
##  [260] 0 1 1 1 0 1 1 1 2 4 3 0 0 1 0 2 2 1 2 0 3 2 1 2 1 2 2 4 0 2 1 0 1 1 1 1 1
##  [297] 1 3 2 2 1 1 2 1 1 1 0 0 1 3 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 0 1 1
##  [334] 0 3 0 1 0 0 1 0 0 1 3 0 2 0 0 2 1 2 1 1 0 1 0 2 3 0 0 0 0 2 1 1 5 2 1 0 1
##  [371] 3 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 2 2 0 0 2 3 1 2 0 1 0 1 3 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 1 0 0
##  [408] 1 0 2 0 2 0 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 1 0 0 1 1 4 2 1 0 0 2 1 0 1 2 1 2 0 2 0 0
##  [445] 2 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 2 4 1 0 0 1 1 3 1 1 3 1 1 2 2 2 1 3 0 0 2 2 2 0 1 4
##  [482] 2 1 0 0 4 0 1 2 3 1 0 0 2 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 0 1 3 2 0 1 0 1 0
##  [519] 1 0 1 1 3 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 3 1 1 0 0 1 1 0 2 0 0 3 3 2 1
##  [556] 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 0 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1 1 0 0 0 2 0 0 2
##  [593] 0 1 0 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 1 2 0 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 2 2 0 3 0 1 0 1
##  [630] 1 2 0 2 0 3 2 1 1 2 1 1 2 2 1 0 3 0 2 0 2 0 0 3 1 0 0 0 1 3 1 1 0 2 1 3 2
##  [667] 0 1 0 4 0 3 0 3 1 1 0 3 1 2 3 1 0 1 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 1 2 2 1 1 0 0 1 1
##  [704] 1 1 1 3 0 0 2 1 0 0 1 1 2 1 2 3 0 0 0 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 2 1 2 1 0 0 4 2
##  [741] 1 1 1 1 0 0 0 2 1 0 1 1 1 2 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 0 1 0 1 1 1 1 3 0
##  [778] 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 2 2 0 1 1 1 1 2 0 2 3 0 2 1 1 0 0 2 1 0 2 0 2 0 3 0 0
##  [815] 1 0 0 1 0 0 2 1 2 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 1 0 0 3 2 1 1 1 2 3
##  [852] 0 1 1 0 1 1 1 2 1 1 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 1 1 1 3 2 0 0 2 0 1 1 2 1
##  [889] 1 0 0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 3 4 5 0 1 3 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 1 1 1 4 1 1 0
##  [926] 1 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 3 3 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 0 2 0 0 0 0 2 1 0 1 2 3 2 0
##  [963] 1 2 2 0 1 0 1 3 0 0 0 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 0 1 0 2 2 1 1 0 1 1 2 1 1 1 3 0
## [1000] 0

hist(gn)

mean(gn)

## [1] 0.992

va<-var(gn)
va

## [1] 0.9628989

Los valores dados si tienen unos valores muy similares a los valor teorico

AI6UC1_7

Josue Flores

10/1/2021

Introduccion a la probabilidad

Espacio de resultados y eventos

Evento equiprobables

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Distribuciones de probabilidad