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summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

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Introduccion a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre- Wasserman

COnceptos funamentales de probabilidad

1.- Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad

2.- Interpretacion frecuentista de la probabilidad

3.- Probabilidad condicional y su relación con independencia

4.- La regla de Bayes

##Espacio de resultados y eventos

EL espacio de resultados $\Omega$ es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio

Ejemplo: Si lanzamos una moneda 2 veces, entonces

\[ \Omega = {AA,SS,AS,SA} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los evemtos usualmente se denotan por mayúsculas. Ejemplo: si lanzamos una moneda dos veces entonces: \[ \Omega = \{AA, AS\}\]

##Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una proporcion de una parte con respecto a un todo

Si en ingenieria quimica tenemos 1000 estudiantes, de los cuales

300 son hombres 700 son mujeres

Si elegimos un estudiante al azar de ingenieria quimica Cual es la probabilidad de que sea hombre?

\[ \frac {300}{700+300} = 0.3 \]

La probabilidad entonces es de 0.3

Esto se concibe de la siguiente forma:

$$ Probabilidad = Eventos favorables / eventos posibles

$$ Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados en a dividido entre el numero total de posibles resultados:

\[P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\] por lo que hace falta contar Ejemplo de combinaciones: Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la seleccion es aleatoria ¿cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

hay $\dbinom{15}{5}$ posibles comites, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado

Por otra parte hay $\dbinom{6}{3}\dbinom{9}{12}$ posibles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)

## [1] 0.2397602

##Interpretacion frecuentista de la probabilidad

Las probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:

set.seed(123)
lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10

##  [1] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"

*Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de aguila

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada de Aguila

##  [1] 1 2 3 3 4 4 4 4 5 6

Frecuencia relativa Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10,2)

##  [1] 1.00 1.00 1.00 0.75 0.80 0.67 0.57 0.50 0.56 0.60

Distribuciones de probabilidad

**Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palanras clave para las distribuciones más importantes son:

Discritucioón Alias
Discritucioón binomial binom
Discritucioón normal norm
Discritucioón exponencial exp
Discritucioón t de student t
Discritucioón chi2 chisq
Discritucioón F F

$$

\[\begin{array}{1|1|1|c} \text{función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo0}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array}\]

$$

**Distribución Exponencial

curve(dexp(x), from = 0, to = 10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

#Genera 20 observaciones con distribución B(1, 0.5)

Contando éxitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
##  7 13

Ejemplo de distribución normal

Si $x$ es una variable aleatoria, con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que $x$ sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean = 3, sd = 0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuantil 0.7 de una variable aleatoria normal estándar z, es decir, un valor x tal que

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil, pero con una v. A. normal de media 9 y una DT (desviación típica) de 0.5

qnorm(0.7, sd = 0.5)

## [1] 0.2622003

El valor $z_\alpha$ que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x)

x <- rnorm(100, mean = 10, sd = 1)
x

##   [1] 11.786913 10.497850  8.033383 10.701356  9.527209  8.932176  9.782025
##   [8]  8.973996  9.271109  9.374961  8.313307 10.837787 10.153373  8.861863
##  [15] 11.253815 10.426464  9.704929 10.895126 10.878133 10.821581 10.688640
##  [22] 10.553918  9.938088  9.694037  9.619529  9.305293  9.792083  8.734604
##  [29] 12.168956 11.207962  8.876891  9.597115  9.533345 10.779965  9.916631
##  [36] 10.253319  9.971453  9.957130 11.368602  9.774229 11.516471  8.451247
##  [43] 10.584614 10.123854 10.215942 10.379639  9.497677  9.666793  8.981425
##  [50]  8.928209 10.303529 10.448210 10.053004 10.922267 12.050085  9.508969
##  [57]  7.690831 11.005739  9.290799  9.311991 11.025571  9.715227  8.779282
##  [64] 10.181303  9.861109 10.005764 10.385280  9.629340 10.644377  9.779513
##  [71] 10.331782 11.096839 10.435181  9.674068 11.148808 10.993504 10.548397
##  [78] 10.238732  9.372094 11.360652  9.399740 12.187333 11.532611  9.764300
##  [85]  8.973579  9.289593 10.256884  9.753308  9.652457  9.048381  9.954972
##  [92]  9.215096  8.332058  9.619773 10.918997  9.424653 10.607964  8.382117
##  [99]  9.944438 10.519407

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 10.01675

Histograma de frecuencias

hist(x)

Gráfico de cajas y bigote

boxplot(x)

Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:

hist(x, freq = FALSE) #Freq = FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 1), from = 7, to = 13, add = TRUE)

AI5UC1_6

Arturo Luna

27/9/2021

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Introduccion a la probabilidad

Distribuciones de probabilidad