Introduccion a la probabilidad

Probabilidad Es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman

1.Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad etc.

2.Interpretacion frecuentista de la probabilidad.

3.Probabilidad condicional y su relacion con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \begin{equation}\label{eq:Omega} \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \end{equation} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte aguila.

\[ \begin{equation}\label{eq:A} A=\{AA,AS\} \end{equation} \]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Quimica hay 300 Hombres y 700 Mujeres, la proporcion de hombre es:

\[ \begin{equation}\label{eq:frac} \frac{300} {700+300} = 0.3 \end{equation} \] Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados en A dividido entre el numero total de posibles resultados:

\[ \begin{equation}\label{eq:P} P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \end{equation} \] Por lo que solo hace falta contar. e.g. Combinaciones

Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la seleccion es aleatoria, ¿Cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comite, cada uno tiene la misma posibilidad de ser selccionado.

Po otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comite que oncluye 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] Y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretacion frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace =  TRUE )
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
  • Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de aguila:
cumsum(lanzamientos_10 == "A") # Suma acumulada de aguila
##  [1] 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3
  • Dividiendo
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)
##  [1] 1.00 1.00 0.67 0.50 0.40 0.33 0.29 0.25 0.33 0.30

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R

En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:

  • Distribución Alias
  • Distribución binomial binom
  • Distribución de Poisson pois
  • Distribución normal norm
  • Distribución exponencial exp
  • Distribución t de Student t
  • Distribución Chi2 chisq
  • Distribución F f

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso} & \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula probalilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ d & \text{density} & \text{Calcula las probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gr'afico en el caso continuo} \\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]

Distribución Exponencial

curve(dexp(x), from=0, to=10)

  • Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x
##  [1] 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1
  • Genera 20 observaciones con distribución B(1,0.5)

Contando éxitos vs fracasos

table(x)
## x
##  0  1 
##  9 11

e.g. Distribucion normal

Si \(X\) es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3 y du desviacion tipica es de 0.5, la probabilidad de que x sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)
## [1] 0.8413447
  • Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estándar Z, es decir, un valor X tal que
qnorm(0.7)
## [1] 0.5244005
  • El valor zα que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:
qnorm(0.975)
## [1] 1.959964
  • Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):
x <- rnorm(100, mean=10, sd=1 )
x
##   [1] 11.661887 11.313654 10.600092 12.142083  9.528784  9.157353 10.380920
##   [8]  8.921689 11.038977 10.891598  7.054430  8.755391 12.183975 11.462704
##  [15]  9.773801  9.613233  9.962188  7.918718 11.510480  8.386874 11.418816
##  [22]  9.962392  9.692700 11.849248 10.864795 10.901169  9.877803  9.887594
##  [29]  8.611325 12.036271 12.149100  9.725611 10.286463 11.697307 10.993114
##  [36] 10.164162  8.477698  9.629540  9.892864  9.753914  9.326054 11.994842
##  [43] 10.906718 12.184061  9.044137 10.770084  7.909993  8.907180  8.636160
##  [50]  9.737123  9.167818 10.687212  9.476570  9.332906  9.838005 10.227267
##  [57]  9.346814  9.195150 10.075923  9.665235 10.608816  8.031853 10.188567
##  [64] 10.844494 11.863168 10.247668 10.658865  9.277171 10.383271 10.619638
##  [71] 11.482365  8.111699 10.146816  9.027752  9.394696  9.313237  7.883836
##  [78]  9.011540 10.512609 10.552217 10.684465 10.570710  9.161701 10.028080
##  [85]  9.132753  9.701151  9.554435  9.849521  9.864834 10.877602 10.148104
##  [92] 12.323116  9.581477  8.667432  9.197527  7.687588 10.285329 10.178879
##  [99]  8.718001  9.909006
  • Para estimar el promedio de x
mean(x)
## [1] 10.00842
  • Histograma de frecuencias
hist(x)

  • Gráfico de cajas y bigote
boxplot(x)

  • Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:
hist(x, freq=FALSE) # Freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add=TRUE)