AI8UC1_9

Joshiva Yzair Ruiz Tapia

30/9/2021

Introduccion a la probabilidad

probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidubre Wasserman

  1. Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
  2. Interpretacion frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relacion con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El Espacio de resultados \(\omega\) es el resultado de un experimento aleatorio

e.g. si lanzamos una moneda dos veces: \[\Omega=\{AA,AS,SA,SS} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas. e.g. Que el primer lanzamiento resulte aguila.

\[A=\{AA,AS\}\] ##Eventos equiprobables La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto con un todo

e.g. En la carrera de Ing. quimica hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporcion de hombres es:

\[\frac{300}{700+300}=0.3 \]

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\]

e.g. combinaciones Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres, si la seleccion es aleatoria, ¿Cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay\(\dbinom{15}{15}\)posibles comites, cada uno tiene la misma posibilidad

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3}\dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto la prob. seria \[ \frac{\dbinom{6}{3}\dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] y la funcion para calcular las combinaciones es choose(n,r)

choose(6,3)*choose(9,2)/choose(15,5)
## [1] 0.2397602

interpretacion frecuentista de la probabilidad

lanzamientos_10=sample(c("A","S"),10,replace=TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"

podemos calcular las secuencia de frecuencias relativas de aguila

cumsum(lanzamientos_10=="A")
##  [1] 0 1 1 1 1 2 3 3 4 5

dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10="A")/1:10,2)
## Warning: NAs introducidos por coerción
##  [1] NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA

Distribuciones de probabilidad

** Funciones en R

En R, cada distribucion de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones mas importantes son:

  • Distribucion Alias
  • Distribucion binomial binom
  • Distribucion de Poisson pois
  • Distribucion normal norm
  • Distribucion expotencial exp
  • Distribucion t de student t
  • Distribucion ch12 chisq
  • Distribucion F f

\[ \begin{Array}{1|1|1|c} \text{funtion} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{Observacion}\\ \hline p & \text{Probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Solo uso de grafico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios segun una distribucion especifica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \] Distribucion expotencial

curve(dexp(x),from=0,to=10)

#Representa la densidad de una expotencial de media 1 entre 0 y 10

Distribucion binomial

x=rbinom(20,1,0.5)
x
##  [1] 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

Genera 20 observaciones con distribucion B(1,0.5)

Contando exitos vs fracasos

table(x)
## x
##  0  1 
## 11  9

e.g. Distribucion normal

si \(X\) es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3, y su desviacion tipica es de .5, la probailidad de que \(X\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma

pnorm(3.5,mean = 3,sd=0.5)
## [1] 0.8413447
  • para calcular cuantil 0.7 es una v.a. normal estandar Z, es decir, un valor X tal que
qnorm(0.7)
## [1] 0.5244005
  • calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT .5
qnorm(0.7,sd=0.5)
## [1] 0.2622003

El valor \(\(z_\alpha\)\) Que aparece en muchas de las formulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). algunos ejemplos

qnorm(0.975)
## [1] 1.959964
  • Para genetar una muestra de tamaño 100 de una poblacion normal de media 10 y desviacion tipica de 1 (y guardarla en un vector x):
x=rnorm(100,mean = 10,sd=1)
x
##   [1]  9.073155  8.395869  8.521269  9.232815  8.840233 10.644992  9.298602
##   [8] 10.225085 11.511107  8.747541 10.302548  9.520147 11.829779 10.582280
##  [15]  8.953728 11.197867  8.449319  8.931787 11.620970  9.798054 10.347855
##  [22] 10.583129  8.915145  9.467636 10.295895 10.319301 10.135714  9.481779
##  [29]  9.894276 10.731079  9.425148  9.824173  9.324059  9.787054 10.906059
##  [36] 10.981661  9.297909 12.330245  9.681637 12.367705  9.841300 10.130214
##  [43]  9.597137 10.166441  8.966093  9.966053  8.708535  8.722892 10.589087
##  [50]  8.697518 10.627355 10.531715 10.585250  9.964435  7.485424  9.656448
##  [57]  9.895647 10.078603 10.018898 10.391923  9.497468  9.679413 10.411723
##  [64]  9.106181 10.884302 11.287205  9.978011  9.856137  8.398024 11.075675
##  [71] 10.338037 11.535705 10.432933 10.678311 11.192453  9.436241 10.981154
##  [78] 10.594348  9.785257 10.455391  9.922144 10.430036  9.756752  9.767776
##  [85] 12.068179  8.078627 11.100953  8.905559 11.441208 10.017211  7.932993
##  [92]  9.022873  8.860499  8.985059 11.023433  9.569750  8.051009 10.915397
##  [99]  9.084650  9.953075
  • para estimar el promedio de x
mean(x)
## [1] 9.948867
  • Histograma de frecuencias
hist(x)

  • Grafico de cajas y bigote
boxplot(x)

  • Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las areas de los rectangulos sea
  1. jutno con la densidad de la poblacion:
hist(x,freq = FALSE,)
curve(dnorm(x,mean=10,sd=1),from =7,to=13,add = TRUE)

1. Si \(z\) es una variable con distribucion normal estandar, calcula \(\mathbb{P}(-2.32< Z < 4.78)\).

P = (pnorm(4.78, mean = 0, sd = 1) - pnorm( -2.34, mean = 0, sd = 1))
P 
## [1] 0.9903573
  1. Calcula el rango intercuartulico de una poblacion estandar.
poblacion = c(1,1,4,4,5,5,6,6,6,6,7,8,8,9)
summary(poblacion)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.000   4.250   6.000   5.429   6.750   9.000
  1. Genera una muestra de tamaño 10 de población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media mustral y la poblacional? repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias
a = rnorm(10, mean=5, sd=1)
a
##  [1] 5.504320 4.650295 5.251503 5.644234 6.422341 4.681873 5.531223 5.026208
##  [9] 3.150069 4.182161

[1] 4.955513 3.938152 4.778324 5.394592 5.889427 5.868717 4.327958 4.765425 5.872793 5.913336

[1] 5.397229 4.903014 2.920119 6.373958 5.106814 4.973496 4.766356 4.418837 4.354325 4.657123

[1] 3.325271 6.861188 4.944379 5.433406 5.510374 6.195907 3.916096 3.854895 5.155219 4.507749

  1. Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro \(\lambda=1\). Representa el gráfico de barras de los numeros obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?
pois = rpois(1000, 1) 
pois
##    [1] 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 3 2 0 1 0 1 0 1 2 0 3 0 1 2 1 1 1 0 0 2 2 1
##   [38] 1 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
##   [75] 2 1 0 0 2 0 1 0 0 1 1 0 1 0 3 1 1 1 1 2 3 0 4 2 1 2 2 1 1 1 4 0 1 1 0 0 0
##  [112] 2 1 1 2 0 1 1 0 2 0 3 0 0 0 3 0 2 0 1 2 1 0 1 2 2 0 1 1 0 0 1 1 2 2 7 0 0
##  [149] 1 0 0 2 0 1 1 1 2 1 0 2 1 1 1 2 1 3 2 1 0 2 1 3 2 2 0 3 1 1 0 1 2 1 0 2 1
##  [186] 0 1 0 1 1 2 0 0 3 1 2 0 1 0 3 2 3 1 0 3 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 3
##  [223] 2 1 2 1 0 1 3 0 2 0 2 1 2 0 1 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 2 0 1 1 1 2 2 0 1 0 0
##  [260] 0 2 1 1 4 2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 3 0 1 0 2 1
##  [297] 2 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 3 0 2 0 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 1 2 1 2 1 0 2 0
##  [334] 2 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 0 3 0 0 1 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 1 2 0 0
##  [371] 0 0 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 2 0 0 1 0 2 0 1 0 2 4 1 1 0 0 1 2 1 1 3 2
##  [408] 0 1 1 1 1 0 2 3 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 2 2 0 0 1 1 0 2 1 2 1 0 1 1 1 1 2 1 0
##  [445] 2 1 1 0 0 3 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 0 0 1 3 2 3 2 0 1 0 1 1 0 3 0 0 1
##  [482] 0 0 1 1 2 0 0 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 2 0 2 1 0 1
##  [519] 1 1 1 2 1 0 2 1 2 1 3 2 1 0 0 0 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 2 0 2 1 0 4 0 1 3 1
##  [556] 0 3 0 3 3 1 3 1 1 0 2 0 0 0 0 4 2 1 1 2 1 1 2 0 3 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1
##  [593] 0 0 0 2 1 0 2 1 0 2 2 4 1 1 0 0 2 3 3 1 3 1 0 1 3 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
##  [630] 1 2 3 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 1 1 0 0 1 0 0 3 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 1 0 2
##  [667] 1 2 2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 3 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 3 2 0 4 2 0 1 1 2 2 0
##  [704] 2 2 2 0 0 0 2 0 2 0 0 2 1 0 1 1 1 0 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 1
##  [741] 3 3 1 1 1 0 0 3 1 2 1 0 3 1 0 0 0 3 1 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 2
##  [778] 0 0 1 1 0 2 4 0 0 3 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 3 1 2 0 2 0 1 5 1 1 0 1 0 0 1 1 1
##  [815] 1 1 3 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 2 0 1 1 0 1 2 0 0 3 2 1 2 0 1
##  [852] 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 0 2 2 1 2 0 3 0 1 0 2 0 1 1 3 0 2 1 1 0 2 0 1 1 1 0
##  [889] 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 2 0 0 3
##  [926] 1 1 0 2 3 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 3 1 1 0 2 0 1 0 0 1 3 1 0 1 1 0 0 1 2 1 1
##  [963] 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 1 2 3 1 1 0 0 2 0 2 3 0 2 2 2 2 0 0 1 0 0 1 3 0 2 0 0
## [1000] 0
mean(pois)
## [1] 0.939
var(pois)
## [1] 0.9342132
hist(pois)