Introducción a la probabilidad
Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre. Wasserman
- Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.
- Interpretación frecuencista de la probabilidad.
- Probabilidad condicional y su relación con la incertidumbre.
Espacio de resultados y eventos
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.
e.g. Si lanzamos una moneda dos veces: \[\Omega =\{AA, AS, SA, SS\}\]
Un evento es el subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas. e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila. \[\A={AA,AS\}\]
Eventos equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de la proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.
e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es: \[\frac{300}{700+300} = 0.3 \]
Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados: \[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)}\]
Por lo que hace falta contar. e.g. Combinaciones Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres? Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene las mismas posibilidades de ser seleccionado. Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{3}}\] y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)
choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)## [1] 0.2397602Interpretación frecuencista de la probabilidad
Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocrre una cosa u otra cosa en una sesion de observacion.
lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10## [1] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A"Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de aguila:
cumsum(lanzamientos_10 == "A") # suma acumulada de aguila## [1] 1 2 3 3 3 4 4 5 5 6Dividiendo
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)## [1] 1.00 1.00 1.00 0.75 0.60 0.67 0.57 0.62 0.56 0.60Distribución de probabilidad
En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:
- Distribución Alias
- Distribución binomial binom
- Distribución de Poisson pois
- Distribución normal norm
- Distribución exponencial exp
- Distribución t de Student t
- Distribución Chi2 chisq
- Distribución F f
\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Funcion} & \text{Uso} & \text{Observacion}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{Sólo uno gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]
Distribución Exponencial
curve(dexp(x), from=0, to=10)
#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10Distribución Binomial
x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x## [1] 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0#Genera 20 observaciones con distribución (1,0,5)Contando éxitos vs fracasos
table(x)## x
## 0 1
## 7 13e.g. Distribución Normal Si \(x\) es una variable aleatoria, con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(x\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:
pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)## [1] 0.8413447Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a normal estandar Z, es decir, un valor x tal que
qnorm(0.7)## [1] 0.5244005Para calcular el mismo cuantil, pero para con v.a normal de media 0 y DT 0.5
qnorm(0.7, sd=0.5)## [1] 0.2622003El valor \(z\alpha\) que aparece en muchas de las formulas para intervalos y constrastes se obtiene con el comado qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:
qnorm(0.975)## [1] 1.959964Para generar una muestra de tamaño 100 de una poblacion normal de media 10 y desviacion tipica 1 (y guardarla en un vector x):
x <- rnorm(100, mean=10, sd=1)
x## [1] 12.358853 10.012487 8.603685 11.452332 8.943080 10.334589 9.380212
## [8] 10.439805 8.734448 8.975721 9.569692 9.861078 10.514124 10.802764
## [15] 10.799617 9.966819 9.878942 11.233142 8.453889 10.560091 9.494505
## [22] 10.424529 9.133054 9.106510 8.820013 9.699734 11.256652 11.044178
## [29] 10.058084 11.011573 10.198898 9.062155 8.554453 8.271525 11.120314
## [36] 9.616997 12.055621 9.541331 10.653838 13.010318 8.847939 9.523172
## [43] 8.130911 9.159977 7.990057 10.789292 11.269682 10.159414 10.069122
## [50] 9.685287 9.101611 11.338164 10.840006 8.963197 9.603431 10.188125
## [57] 9.463310 12.887365 10.456310 12.425598 10.854843 9.306782 9.407816
## [64] 10.199321 9.454783 11.429687 11.015182 9.613625 8.780513 9.601294
## [71] 12.183640 12.333866 8.979469 9.347016 9.332256 8.429899 10.373465
## [78] 9.829131 9.022311 11.780566 8.614004 9.124325 9.539889 10.717789
## [85] 10.097275 12.350574 10.573432 9.729573 10.757930 11.193173 10.443916
## [92] 8.509265 9.389773 9.216686 10.293932 8.861486 10.522562 8.501533
## [99] 9.914902 9.345031Para estimar el promedio de x
mean(x)## [1] 10.02874Histograma de frecuencias
hist(x)
Grafico de cajas y bigote
boxplot(x)
Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las areas de los rectangulos sea 1) junto con la densidad de la poblacion.
hist(x, freq=FALSE) #Freq= FALSE, para que el area del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add= TRUE)
Ejercicios
- Si \(Z\) es una variable con distribución normal estándar, calcula \(\mathbb{P}(-2.34 < Z < 4.78)\).
p = (pnorm(4.78, mean = 0, sd = 1) - pnorm( -2.34, mean = 0, sd = 1))
p ## [1] 0.9903573- Calcula el rango intercuartílico de una poblacion normal estándar
poblacion <- c(1,1,4,4,5,5,6,6,6,6,7,8,8,9)
summary(poblacion)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.000 4.250 6.000 5.429 6.750 9.000- Genera una muestra de tamaño 10 de población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media mustral y la poblacional? repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias 1:
a <- rnorm(20, mean=5, sd=1)
a## [1] 4.328601 6.315463 4.879003 5.435498 3.680129 4.143131 5.516212 4.949903
## [9] 5.230918 5.518177 4.975683 5.417959 5.870736 4.032449 6.877982 4.011191
## [17] 5.988396 4.223181 6.768566 5.1632802:
b <- rnorm(20, mean=5, sd=1)
b## [1] 4.457575 4.825674 6.301158 4.700230 5.397025 5.361249 5.019391 3.841172
## [9] 5.513722 4.602729 4.327185 4.224239 4.518008 5.492867 5.908627 4.614820
## [17] 4.880167 4.880001 5.019971 5.8413673:
c <- rnorm(20, mean=5, sd=1)
c## [1] 3.233170 5.128139 5.907848 6.217869 2.288534 5.551221 6.573045 6.730225
## [9] 4.534812 4.450312 5.076258 6.247317 3.969226 4.645712 4.392460 4.488513
## [17] 5.906741 5.570289 4.820278 4.873825- Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro \(\lambda = 1\). Representa el gráfico de barras de los numeros obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?
poi <- rpois(1000, 1)
poi## [1] 2 2 0 1 2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 3 1 0 2 0 0 1 1 1 0 2 0 3 1 1 1 1 2 2 1 0 1
## [38] 2 0 2 0 2 0 1 2 1 3 2 3 3 1 3 0 1 1 0 0 2 1 2 0 2 1 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 0
## [75] 0 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 1 2 2 1 0 1 0 1 2 0 0
## [112] 2 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 2 2 0 1 0 2 1 2 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
## [149] 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 0 1 4 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0
## [186] 1 0 3 2 2 0 3 0 2 0 2 0 1 0 1 4 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 2 0 1 0 1 3
## [223] 0 0 0 1 0 2 3 3 0 1 0 1 0 2 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 4 2 1 2 0 6 2 2 2 1 2 1 2
## [260] 2 1 1 0 0 1 0 1 3 1 0 0 2 3 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 0 2 1 1 0 1 1 1 3
## [297] 1 2 2 1 2 1 1 1 0 0 1 2 2 2 1 2 0 0 1 0 2 1 1 1 0 0 2 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2
## [334] 1 2 0 1 2 0 2 0 0 1 1 2 1 2 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 1 1
## [371] 3 1 1 0 2 1 4 1 1 0 2 0 2 1 2 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1
## [408] 2 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 2 3 2 0 0 2 0 1 1 1 2 1 1 0 2 1 0 0 2 0 2 1 1 0
## [445] 0 2 1 0 2 0 3 0 0 1 0 2 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 3 1 0 1 3 3 0
## [482] 1 2 1 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 1 1 1 3 1 1 0 0 3 3 1 3 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1
## [519] 0 0 0 1 0 2 1 2 1 0 1 1 0 0 3 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 1 1 0
## [556] 0 0 2 3 0 0 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 2 1 0 1 1 2 2 0 0 3 1 3 1 0 0
## [593] 1 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 2 2 1 1 4 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1
## [630] 0 1 1 1 1 0 3 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 1 1 2 2 0 1 1 0 0 3 0 1 1 2 2 1 1 0 1 1
## [667] 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 0
## [704] 1 0 2 1 3 0 0 0 0 2 1 2 0 1 0 1 3 0 0 0 1 0 0 4 1 1 1 0 2 2 2 0 1 1 2 0 2
## [741] 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 4 1 0 0 1 1 1 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 1 1 1
## [778] 0 1 1 1 0 2 0 3 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 4 1 0 2 1 3 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 1 0
## [815] 1 1 2 0 1 2 0 1 1 2 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 4 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0
## [852] 1 2 2 0 2 1 2 2 0 0 3 1 2 0 1 4 1 3 0 0 1 0 2 4 2 1 0 0 0 2 0 3 1 1 3 0 1
## [889] 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 3 0 1 1 1 4 0 1 1 0 1 1 1 2 0 0 0 1
## [926] 2 1 1 0 1 0 1 2 1 3 1 1 0 0 2 0 2 1 3 2 0 1 0 1 2 3 1 0 1 1 1 1 0 0 3 3 1
## [963] 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 0 0 2 2 0 1
## [1000] 0Media:
mean(poi)## [1] 0.963Varianza:
var(poi)## [1] 0.8504815Histograma:
hist(poi, xlab = "Distribucion de Poisson", main = paste("Histograma de Poisson"))
5.Calcula con R los siguientes valores: \(t_{3,\alpha}\), \(\chi^2_{3,\alpha}\), para \(\alpha = 0.05\) y \(alpha = 0.01\). Compara los valores obtenidos con los que aparecen en las correspondientes tablas.