Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:
R/ La ecuación a resolver es:
\[B(x; n, p) = \sum_{y=0}^x (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde \(b(4; 15, .3)\), Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(B(4; 15, .3)\) es de:
pbinom(4, size=15, prob=0.3)## [1] 0.5154911La probabilidad obtenbida para el caso a. [B(4; 15, .3)] es de 0.5154911
R/ La ecuación a resolver es:
\[b(x; n, p) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde \(b(4; 15, .3)\), Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(b(4; 15, .3)\) es de:
dbinom(4, size = 15, prob = 0.3) ## [1] 0.2186231La probabilidad obtenbida para el caso b. B(4; 15, .3) es de 0.2186231
R/ La ecuación a resolver es:
\[B(x; n, p) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde \(b(6; 15, .7)\), Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(b(6; 15, .7)\) es de:
dbinom(6, size = 15, prob = 0.7)## [1] 0.01159La probabilidad obtenbida para el caso c. B(6; 15, .7) es de 0.01159
R/ La ecuación a resolver es:
\[P(2\le X \le 4) = P(X\le 4) - P(X\le 1)\]Dado \(Bin(15, .3)\): \[B(4; 15, .3) = \sum_{y=0}^4 (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x} - B(1; 15, .3) = \sum_{y=0}^1 (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X \le 4) - P(X \le 1)\) es de:
pbinom(4, size=15, prob=0.3)-pbinom(1, size=15, prob=0.3)## [1] 0.4802235La probabilidad obtenbida para el caso d. P(2 ≤ X ≤ 4) cuando X∼Bin(15, .3) es de 0.4802235
R/La ecuacion a resolver es:
\[P(X\ge 2)\]Dado \(Bin(15, .3)\): \[1-B(1; 15, .3) = \sum_{y=0}^1 (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X \ge 2)\) es de:
1-pbinom(1, size=15, prob=0.3)## [1] 0.9647324La probabilidad obtenbida para el caso e. P(2 ≤ X) cuando X∼Bin(15, .3) es de 0.9647324
R/La ecuacion a resolver es: \[P(X\le 1)\]
Dado \(Bin(15, .7)\):
\[B(1; 15, .3) = \sum_{y=0}^1 (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X \le 1)\) es de:
pbinom(1, size=15, prob=0.7)## [1] 5.165607e-07La probabilidad obtenbida para el caso f. P(X ≤ 1) cuando X∼Bin(15, .7) es de 5.165607e-07
R/ La ecuación a resolver es:
\[P(2 < X < 6) = P(X \le 5) - P(X \le 2)\]Dado \(Bin(15, .3)\): \[ B(5; 15, .3)=\sum_{y=0}^5 (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x} - B(2; 15, .3) = \sum_{y=0}^2 (\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X \le 6) - P(X \le 1)\) es de:
pbinom(5, size=15, prob=0.3)-pbinom(2, size=15, prob=0.3)## [1] 0.5947937La probabilidad obtenbida para el caso g. P(2 < X < 6) cuando X∼Bin(15, .3) es de 0.5947937
Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.
R/ La ecuación a resolver es: \[P(X = 1) , dado: Bin(6, .1):\]
\[b(x; n, p) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X=1)\) es de:
dbinom(1, size = 6, prob = 0.1) ## [1] 0.354294La probabilidad obtenbida para el caso a. es de 0.354294
R/ La ecuacion a resolver es: \[P(X \ge 2) , dado: Bin(6, .1):\]
\[1-(1; 6, .1) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X\ge2)\) es de:
1-pbinom(1, size=6, prob=0.1)## [1] 0.114265La probabilidad obtenbida para el caso b. es de 0.114265
R/ La ecuacion a resolver es: \[P(X < 4) , dado: Bin(5, .9):\]
\[1-B(3; 5, .9) =\sum_{y=0}^3(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X<4)\) es de:
1-pbinom(3, size=5, prob=0.9)## [1] 0.91854La probabilidad obtenbida para el caso c. es de 0.91854
Remítase al ejercicio previo.
Se utiliza un número telefónico particular para recibir tanto llamadas de voz como faxes. Suponga que 25% de las llamadas entrantes son faxes y considere una muestra de 25 llamadas entrantes.
\[ E(X)=np \]
p=0.25
n=25
p*n## [1] 6.25El numero esperado de llamadas para el caso a. es de 6.25
R/ Para responder este inciso se utiliza la formula de desviacion estandar para distribucion binomial:
\[ \sigma_x=\sqrt{npq} \]
Donde \(n=25, p=.25 q=(1-p)\): Por lo cual, calculando con R obtenemos:
sqrt(25*0.25*(1-0.25))## [1] 2.165064La desviacion estandar para el caso b. es de 2.165064
R/ Tenemos en cuenta que el numero esperado \((n_e)=6.25\) y \(\sigma=2.165064\), por lo tanto, que sobrepase el numero esperado por mas de dos desviaciones estandar esta representado por: \[P(X > (6.25+2\sigma)) , dado: Bin(25, .25):\]
\[1-B(10.59; 25, .25) =\sum_{y=0}^{10.59}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo tanto, calculando con R el resultado obtenido para \(P(X>10.59)\) es de:
1-pbinom(10.59, size=25, prob=0.25)## [1] 0.02966991La probabilidad obtenbida para el caso b. es de 0.02966991
El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar
R/ Esto esta representado por:
\[1-B(9; 15, .6) =\sum_{y=0}^{9}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo cual, calculando con R:
1-pbinom(9, size=15, prob=0.6)## [1] 0.4032156La probabilidad obtenbida para el caso a. es de 0.4032156
R/ Esto esta representado por:
\[B(7; 15, .4) =\sum_{y=0}^{7}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo cual, calculando con R:
pbinom(7, size=15, prob=0.4)## [1] 0.7868968La probabilidad obtenbida para el caso b. es de 0.7868968
R/ Esto esta representado por:
\[B(10; 15, .4) =\sum_{y=0}^{10}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x} - B(5; 15, .4) =\sum_{y=0}^{5}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo cual, calculando con R:
pbinom(10, size=15, prob=0.4)-pbinom(4, size=15, prob=0.4)## [1] 0.7733746La probabilidad obtenbida para el caso c. es de 0.7733746
Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía.De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?
R/ Como el ejercicio entrega probabilidades independientes se realiza el intersecto de las probabilidades el cual es el producto de las mismas, donde definimos a Probabilidad inicial [Prob(ini)] como 0.2 y a la Probabilidad corresponidiente a que los telefonos deben ser reemplazados con unidades nuevas como Prob(run) = 0.4. Entonces
\[ Prob= Prob_{inicial}\times Prob_{run}=0.08 \]
Luego, la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía esta representada por:
\[b(2; 10, .08) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo cual, calculando con R:
n <- 10
p <- 0.2 * 0.4
dbinom(2, size = 10, prob = 0.08) ## [1] 0.147807La probabilidad obtenbida es de 0.147807
Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?
Como la linterna necesita dos baterias: P(x) = 0.9*0.9, y tenemos en cuenta que P(funcione la linterna) = P(2 baterias sirvan), donde tenemos en cuenta que los eventos son independientes, por lo cual la probabilidad la representa union de estos, es decir la suma de las probabilidades:
\[b(9; 10, .81) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x} + b(10; 10, .81) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x} \]
dbinom(9, size=10, prob=0.81) + dbinom(10, size=10, prob=0.81)## [1] 0.4067565La probabilidad de que por lo menos 9 linternas funcionen es de 0.4067565
Un reglamento que requiere que se instale un detector de humo en todas las casas previamente construidas ha estado en vigor en una ciudad particular durante 1 año. Al departamento de bomberos le preocupa que muchas casas permanezcan sin detectores. Sea p = la proporción verdadera de las casas que tienen detectores y suponga que se inspecciona una muestra aleatoria de 25 casas. Si ésta indica marcadamente que menos de 80% de todas las casas tienen un detector, el departamento de bomberos lanzará una campaña para la puesta en ejecución de un programa de inspección obligatorio. Debido a lo caro del programa, el departamento prefiere no requerir tales inspecciones a menos que una evidencia muestral indique que se requieren. Sea X el número de casas con detectores entre las 25 muestreadas. Considere rechazar el requerimiento de que p mayor o igual a .8 si x menor o igual a 15.
Dado que :
\[B(15; 25, .8) =\sum_{y=0}^{15}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo cual, calculando con R:
pbinom(15, size=25, prob=0.8)## [1] 0.01733187La probabilidad de que el requerimiento sea rechazado cuando el valor real de p es .8 es de 0.01733187
Cuando p = .7, dado que:
\[1-B(15; 25, .7) =\sum_{y=0}^{15}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
1-pbinom(15, size=25, prob=0.7)## [1] 0.810564La probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = .7 es de 0.810564
\[1-B(15; 25, .6) =\sum_{y=0}^{15}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
1-pbinom(15, size=25, prob=0.6)## [1] 0.424617La probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = .6 es de 0.424617
Para el inciso a: \[B(14; 25, .8) =\sum_{y=0}^{15}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Para .7 en el inciso b:
\[B(14; 25, .7) =\sum_{y=0}^{15}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Para .6 en el inciso b:
\[B(14; 25, .6) =\sum_{y=0}^{15}(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Por lo cual, calculando en R:
Si usamos a 14 como nueva regla de decisión tenemos que lo valores obtenidos para los incisos anteriores seran respectivamente:
pbinom(14, size=25, prob=0.8)## [1] 0.005554921-pbinom(14, size=25, prob=0.7)## [1] 0.90221-pbinom(14, size=25, prob=0.6)## [1] 0.585775a. 0.00555492
b. 0.9022
c. 0.585775
Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de .9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo .5 en lugar de .9?
En este inciso tenemos dos casos diferentes: para el caso A, n=2 y P(X mayor o igual que 1), y para el caso B, n=4 y P(X mayor o igual que 2), por lo cual, cuando P=9
Para A:
R/ Para este caso \(n=2,p=.9\), y \(P(X\ge1)\) esta representado por:
\[1-b(0; 2, .9) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde, calculando con R:
1-dbinom(0, size=2, prob=0.9)## [1] 0.99La probabilidad para A es de 0.99
R/ Para este caso \(n=4,p=.9\), y \(P(X\ge2\) esta representado por:
\[1-b(1; 4, .9) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde, calculando con R:
1-pbinom(1, size=4, prob=0.9)## [1] 0.9963La probabilidad para B es de 0.9963
Si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo .5 en lugar de .9:
R/ Para este caso \(n=2,p=.5\), y \(P(X\ge1)\) esta representado por:
\[1-b(0; 2, .5) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde, calculando con R:
1-dbinom(0, size=2, prob=0.5)## [1] 0.75La probabilidad para A es de 0.75
R/ Para este caso \(n=4,p=.5\), y \(P(X\ge2)\) esta representado por:
\[1-b(0; 2, .5) =(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
Donde, calculando con R:
1-pbinom(1, size=4, prob=0.5)## [1] 0.6875La probabilidad para B es de 0.6875
Los clientes en una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A), tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A) = .5 P(B) = .2,y P(C) = .3.
La media en este caso esta representada por el valor esperado, por lo cual se realiza:
\[ E(X)=np \]
Donde \(n=100, p=.2\), por lo cual, calculando con R:
n <- 100
p <- 0.2
n * p## [1] 20La media para el inciso a. es de 20
\[ V(x)=npq \]
Donde \(n=100, p=.2 q=(1-p)\), por lo cual, calculando con R:
n <- 100
p <- 0.2
n*p*(1-p)## [1] 16La varianza para el inciso b. es de 16
La media en este caso esta representada por la suma de las probabilidades, por lo cual se realiza:
\[ E(X)=np \]
Donde \(n=100, p=.2 +.5\), por lo cual, calculando con R:
n <- 100
p <- 0.2 + 0.5
n * p## [1] 70La media en este caso es de 70
\[ V(x)=npq \]
Donde \(n=100, p=.2+.5, q=(1-p)\), por lo cual, calculando con R:
n <- 100
p <- 0.2 + 0.5
n*p*(1-p)## [1] 21La varianza para este caso es de 21
Remitase a la desigualdad de Chebyshev dada en el ejercicio 44. Calcule P(|X-μ| ≥ kσ con k = 2 y k = 3 cuando X-Bin(20,0.5) y compare con el límite superior correspondiente. Repita para X-Bin(20,0.75)
\[ \mu =np \] CASO 1. Para valores de n = 20 y p = 0.5 en R:
20*0.5## [1] 10La media es de 10
\[ \sigma_x=\sqrt{npq} \] Para valores de n = 20 y p = 0.5 en R:
sqrt(20*0.5*(1-0.5))## [1] 2.236068La desviación estándar es de 2.236068
2*2.236## [1] 4.472Para este caso kσ es igual a 4.472
3*2.236## [1] 6.708Para este caso kσ es igual a 6.708
\[ P(|X-μ|\ge 2σ) \] Para valores de n = 20, p = 0.5 en R:
(1-pbinom(14, size=20, prob=0.5)) + pbinom(5, size=20, prob=0.5)## [1] 0.04138947El valor para este caso es de 0.04138947
CASO 2. Ahora el cálculo de μ y σ para valores de n= 20 y p = 0.75
\[ \mu =np \] Para el cálculo de μ en R es:
20*0.75## [1] 15La media es de 15
\[ \sigma_x=\sqrt{npq} \] Para valores de n = 20 y p = 0.75 en R:
sqrt(20*0.75*(1-0.75))## [1] 1.936492La desviación estándar es de 1.936492
2* 1.936492## [1] 3.872984Para este caso kσ es igual a 3.872984
3* 1.936492## [1] 5.809476Para este caso kσ es igual a 5.809476
\[ P(|X-μ|\ge 2σ) \] Para valores de n = 20, p = 0.75 en R:
(1-pbinom(18, size=20, prob=0.75)) +pbinom(11, size=20, prob=0.75)## [1] 0.06523779El valor para este caso es de 0.06523779
pbinom(9, size=20, prob=0.75)## [1] 0.003942142pbinom(8, size=20, prob=0.75)## [1] 0.0009353916En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.
Donde el valor obtenido para C es igual a:
qnorm(0.9838)## [1] 2.139441Esto es igual a: Phi (c) – Phi (0) = 0.291
Por lo cual el valor obtenido para c es igual a:
qnorm(.291)## [1] -0.5504657Esto es igual a: Phi (0) – Phi (c) = 0.121
Por lo cual el valor obtenido para c es igual a:
-qnorm(.121)## [1] 1.170002Esto es igual a: Phi (c) – Phi (-c) = 0.668
Por lo cual el valor obtenido para c es igual a:
qnorm(.668)## [1] 0.4343972Esto es igual a: Phi (c) – Phi (-c) = 0.016
Por lo cual el valor obtenido para c es igual a:
-qnorm(.016)## [1] 2.144411Tenemos en cuenta que Zα = 100( 1- α)°. Entonces para:
Zα = 99.45°
-qnorm(.0055)## [1] 2.542699Zα = 91°
-qnorm(.09)## [1] 1.340755Zα = 33.7°
-qnorm(.663)## [1] -0.4206646Las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50cm3) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds inPeriodic Motor Vehicle Inspections” (J. of Automobile Engr.,2008: 1615–1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación. estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds.
R/ Esta probabilidad está dada por: \(P(X\ge50)=\phi(50)\)
En donde, usando R:
pnorm(50, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=TRUE)## [1] 0.9662681R/ Esta probabilidad está dada por: \(P(X<48)=\phi\left(\frac{48-46.8}{1.75} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(48, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)## [1] 0.2464466R/ Dado que \(\mu=46.8\) y \(\sigma=1.75\), que \(\mu\) difiera por más de \(1.5\sigma\) está representado por: \[x=\mu+2\sigma=48.3\]
Luego, \(P(X>48.3)=1-\phi\left(\frac{48.3-46.8}{1.75} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(48.3, mean = 46.8, sd = 1.5, lower.tail=TRUE)## [1] 0.8413447Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con media 8,8 y desviacion estandar 2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning” (Forest Products J., mayo de 1997; 36–41).
R/ P(X mayor o igual que 10) = P(X > 10)
Esto está representado por:
\(P(X>10)=1-\phi\left(\frac{10-8.8}{2.8} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)## [1] 0.3341176Esto está representado por:
\(P(X>20)=1-\phi\left(\frac{20-8.8}{2.8} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(20, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)## [1] 3.167124e-05Esto está representado por:
\(P(5\le X\le 10)=\phi\left(\frac{10-8.8}{2.8} \right) - \phi\left(\frac{5-8.8}{2.8} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE) - pnorm(5, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 0.5785145qnorm(.98, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 14.5505Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L) tiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo “Mathematical Model of Chloride Concentration in Human Blood”, J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25–30, incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoya esta suposición).
Cuando P(X=105) tenemos que el valor obtenido es 0 porque el area bajo la curva de una linea es igual a 0, esto lo comprobamos de la siguiente manera:
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=FALSE) - pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=FALSE)## [1] 0Esto está representado por:
\(P(X<105)=\phi\left(\frac{105-104}{5} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 0.5792597Esto está representado por:
\(P(X \le 105)=\phi\left(\frac{105-104}{5} \right)\)
En donde, usando R:
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 0.5792597R/ Debido a que difiere por una desviacion estandar hacemos a la media mas o menos desviacion estandar, y como es la probabilidad que se encuentra por fuera de ese intervalo hacemos:
\[1-P(\mu -\sigma \le X \le \mu +\sigma)=1-[\phi\left(\frac{109-104}{5} \right)-\phi\left(\frac{99-104}{5} \right)]\]
1 - (pnorm(109, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE) - pnorm(99, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))## [1] 0.3173105Estos valores no dependen ni de la media ni de la la desviacion estandar
qnorm(0.9, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 110.4078qnorm(0.91, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 36.70378qnorm(0.06, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 22.22613qnorm(0.90, mean = 3000, sd = 0.140, lower.tail=TRUE)## [1] 3000.179El dispositivo automático de apertura de un paracaídas militar de carga se ha diseñado para abrir el paracaídas cuando éste se encuentre a 200 m de altura sobre el suelo. Supongamos que la altitud de apertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200 m y desviación estándar de 30 m. Habrá un daño al equipo si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que haya daño a la carga en al menos uno de cinco paracaídas lanzados independintemente?
Para cualcular la probabilidad de que al menos uno de los cinco paracidas tenga un daño, se estandariza:
\[P(X \le 100)=\Phi\left(\frac{100-200}{30} \right)\]
En donde, usando R:
pnorm(100, mean = 200, sd = 30, lower.tail=TRUE)## [1] 0.0004290603Despues de obtenida la probabilidad de que P(x<100), se reemplaza en la función binomial X-B(0, 5)
\[1-b(0; 5, .0004290603) =1-(\frac{n!}{x!(n-x)!}) p^2(1-p)^{n-x}\]
1-dbinom(0, size=5, prob=0.0004290603)## [1] 0.002143461Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia?
Para el ejercicio se considera el intervalo de \(P(X\ge 10.256)\). Lo anterior es igual al intervalo \(1- P(X\le 10.256)\),lo que permite calcular lo requerido. Asimismo, se hace referencia que \(P(X\ge 10.256) =0.10\) y \(P(X\le 9.671) =0.05\).
Primera Parte:
\(1- P(X\le 10.256)=0.10\)
\(P((X\le 10.256) = 1-0,10)\)
\(P(X\le 10.256)= 0.90\)
\(P(\left(\frac{(10.256-\mu)}{\sigma} \right) =0.90)\)
\(\left(\frac{(10.256-\mu)}{\sigma}\right)= 0.90\)
Por medio de la función ´qnorm()´ y del percentil 90, se puede obtener el valor que corresponde a z, esto es:
qnorm(0.90)## [1] 1.281552\(\left(\frac{(10.256-\mu)}{\sigma}\right)= 1.28\)
\(10.256= 1.28\sigma -\mu\)
Segunda Parte:
\(P(X\le 9.671) =0.05\)
\(P(\left(\frac{(9.671-\mu)}{\sigma} \right) =0.05)\)
\(\left(\frac{(9.671-\mu)}{\sigma}\right)= 0.05\)
Por medio de la función ´qnorm()´ y del percentil 5, se puede obtener el valor que corresponde a z, esto es:
qnorm(0.05)## [1] -1.644854\(\left(\frac{(9.671-\mu)}{\sigma}\right)= -1.65\)
\(9.671= -1.65\sigma -\mu\)
Por lo anterior, se tienen dos sistemas de ecuaciones lineales, las cuales pueden ser resueltas por una función de matríz por medio de RStudio.
library(matlib)## Warning: package 'matlib' was built under R version 4.1.1mu <- matrix(c(1, 1.28,1, -1.65), 2, 2, TRUE)
sigma <- c(10.256, 9.671)
Solve(mu, sigma)## x1 = 10.00043686
## x2 = 0.1996587R/ Se tiene que \(\mu = 10\) y \(\sigma = 0.2\)
Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de .500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de .004 pulg de su valor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de .499 pulg y desviación estándar de .002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable?
Para que un cojinete se considere aceptable, su diámetro se debe encontrar entre 0,004 pulgadas de el valor objetivo, el cual es 0,500 pulgadas. Razón por la cual, se considera el siguiente intervalo: \((0.496\le X\le 0.504)\) Asimismo, se considera a \(\mu =0.499\) y \(\sigma =0.002\)
Se halla la probabilidad por medio de la fórmula de distribución normal \(P(x_{\min}\le X\le x_{\max}) = pnorm(x_{\max}, mean=\mu, sd=\sigma, lower.tail=TRUE)- pnorm(x_{\min}, mean=\mu, sd=\sigma, lower.tail=TRUE)\)
P <- pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE) - pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)
cat("La probabilidad es: ", P)## La probabilidad es: 0.9269831Para hallar el porcentaje de los cojinetes producidos que no serán aceptables, se conoce que: \(P(No Aceptable) = 1 - P(Aceptable)\)
NP <- 1- P
paste("El porcentaje de los cojinetes producidos que no serán aceptables es: ", round(100*NP, 3), "%", sep="")## [1] "El porcentaje de los cojinetes producidos que no serán aceptables es: 7.302%"La distribución de peso de paquetes enviados de cierta manera es normal con valor medio de 12 lb y desviación estándar de 3.5 lb. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c más allá del cual habrá un cargo extra. ¿Qué valor de c es tal que 99% de todos los paquetes estén por lo menos 1 lb por debajo del peso de cargo extra?
Se considera a \(\mu =12\) y \(\sigma =3.5\)
Por medio de la función ´qnorm()´ y del percentil 99, se puede obtener el valor que corresponde a z, esto es:
qnorm(0.99)## [1] 2.326348Asimismo, se halla el valor de X, despejando de la fórmula de \(\left(\frac{(X-\mu)}{\sigma}\right)= z\)
X = (3.5*(2.33)) + 12
cat("X: ", X)## X: 20.155c <- X + 1*1
cat("El peso requerido es :", c)## El peso requerido es : 21.155Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intervalos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.]
\(P(X>4000)=1-\phi\left(\frac{4000-3432}{482} \right)\)
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)## [1] 0.119314La probabilidad de que exceda los 4000 gramos es de 0.119314
\(P(3000\le X\le 4000)=\phi\left(\frac{4000-3432}{482} \right) - \phi\left(\frac{3000-3432}{482} \right)\)
La probabilidad de que esté entre 3000 y 4000 gramos calculado con R:
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE) - pnorm(3000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)## [1] 0.6956306La probabilidad de que esté entre 3000 y 4000 es de 0.6956306
\(P(2000\le X\le 5000)=\phi\left(\frac{5000-3432}{482} \right) - \phi\left(\frac{2000-3432}{482} \right)\)
Se realiza la suma de las probabilidades dado que el inciso hace referencia a la union de los intervalos:
pnorm(2000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE) + pnorm(5000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)## [1] 0.002055122La probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos es de 0.002055122
Se realiza la conversión de libras a gramos teniendo en cuenta que 1 libra equivale a 453.592 gramos:
\(lbs =7*453.592 gr\)
7 * 453.592## [1] 3175.144Se tiene que 7 libras equivalen a 3175 gramos aproximadamente
\(P(X>4000)=1-\phi\left(\frac{4000-3432}{482} \right)\)
Para el cálculo en R:
pnorm(3175, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)## [1] 0.7030507La probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras es de 0.7030507
qnorm(0.1, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)## [1] 2814.292pnorm(7,mean = 7.55952,sd = 1.0608,lower.tail=FALSE)## [1] 0.7010598