Sección 3.4 Distribución Binomial

Ejercicio 47

Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:

a. B(4; 15, .3)

pbinom(4, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.5154911
  • La probabilidad corresponde a 0.5154911

b. b(4; 15, .3)

dbinom(4, size = 15, prob = 0.3) 
## [1] 0.2186231
  • La probabilidad corresponde a 0.2186231

c. b(6; 15, .7)

dbinom(6, size = 15, prob = 0.7)
## [1] 0.01159
  • La probabilidad corresponde a 0.01159

d. P(2 ≤ X ≤ 4) cuando X∼Bin(15, .3)

pbinom(4, size=15, prob=0.3)-pbinom(1, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.4802235
  • La probabilidad corresponde a 0.4802235

e. P(2 ≤ X) cuando X∼Bin(15, .3)

1-pbinom(1, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.9647324
  • La probabilidad corresponde a 0.9647324

f. P(X ≤ 1) cuando X∼Bin(15, .7)

pbinom(1, size=15, prob=0.7)
## [1] 5.165607e-07
  • La probabilidad corresponde a 5.165607e-07

g. P(2 < X < 6) cuando X∼Bin(15, .3)

pbinom(5, size=15, prob=0.3)-pbinom(2, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.5947937
  • La probabilidad corresponde a 0.5947937

Ejercicio 49

Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.

a. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea segunda?

  • Como se pregunta la probabilidad de que solo una sea segunda, x=1 con probabilidad de 0.1 y n=6
dbinom(1, size = 6, prob = 0.1) 
## [1] 0.354294
  • La probabilidad de que una sola copa sea segunda es de 0.354294

b. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que por lo menos dos sean segundas?

  • La probabilidad de que por lo menos dos sean segundas es quivalente a P(X≥2)=1-P(X≤1)
1-pbinom(1, size=6, prob=0.1)
## [1] 0.114265
  • La probabilidad de que por lo menos dos sean segundas es de 0.114265

c. Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho cinco deban ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean segundas?

  • Si la probabilidad de que sean segundas es de 0.1, entonces la probabilidad de que NO sean segundas es de 0.9. Encontrar cuatro que no sean segundas entre cinco copas indica la prababilidad P(X≥4)
1-pbinom(3, size=5, prob=0.9)
## [1] 0.91854
  • La probabilidad de que 5 sean seleccionadas y 4 no sean segundas es 0.91854

Ejericico 51

Remítase al ejercicio previo. Se utiliza un número telefónico particular para recibir tanto llamadas de voz como faxes. Suponga que 25% de las llamadas entrantes son faxes y considere una muestra de 25 llamadas entrantes.

a. ¿Cuál es el número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax?

  • El número esperado para variables binomiales se define como E=np, con n=25 y p=0.25. Por tanto:
p=0.25
n=25
p*n
## [1] 6.25
  • El número esperado de llamadas que implican un fax son 6.25 llamadas

b. ¿Cuál es la desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax?

  • La varianza corresponde a raíz(npq), donde ahora q respresenta el valor de 1-p
sqrt(25*0.25*(1-0.25))
## [1] 2.165064
  • La desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax es de 2.17

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de 2 desviaciones estándar?

  • Para este caso, la probabilidad viene definida como P(X>(2σ)+E),es decir, P(X>10.59)=1-P(X≤10.59)
1-pbinom(10.59, size=25, prob=0.25)
## [1] 0.02966991
  • La probabilidad de que el número de llamdas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase dos veces la desviación estándar es de 0.03

Ejercicio 53

El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar

a. ¿Por lo menos 10 no tengan infracciones?

  • La probabilidad de noter infracciones equivale a 0.6. Por tanto, la probabilidad de que por menos 10 individuos en una muestra de 15 no tengan infracciones es P(X≥10)=1-P(X≤9)
1-pbinom(9, size=15, prob=0.6)
## [1] 0.4032156
  • La probabilidad de que entre 15 individuos, 10 no tenga infracciones es de 0.4

b. ¿Menos de la mitad tengan por lo menos una infracción?

  • Menos de la mitad corresponde a 7 individuios. Así, la probabilidad corresponde a P(X≤7)
pbinom(7, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.7868968
  • La probabilidad de que menos de la mitad de los individuos tenga por lo menos una infracción es de 0.787

c. ¿El número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, inclusive?

  • Que el número de individuos que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10 consituye un intervalo, representado como P(5≤X≤10)=P(X≤10)-P(X≤4). Ahora, la probabilidad de que por lo menos sea una infracción ccorresponde a la suma de las prababilidades con mayores infreacciones, es decir, p≥1(infracción)=p1+p2+p3, lo que resulta en una probabilidad de 0.4
pbinom(10, size=15, prob=0.4)-pbinom(4, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.7733746
  • La probabilidad de que el número de individuos que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, es de 0.774

Ejercicio 55

Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía.De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?

  • La probabilidad de que un télefono sea levado a servicio y sea reemplazado viene dada por la multiplicación de la prabibilidad de los eventos individuales, tal que p(servicio y reemplazo)=p(servicio)*p(reemplazo). Así, la probabilidad resultante es 0.08. Por otro lado, la probabilidad de que solo dos telefonos sean reemplazados está dada por P(X=2), con n=10.
dbinom(2, size = 10, prob = 0.08) 
## [1] 0.147807
  • La probabilidad que exactamente dos de los diez comprados sean reemplazados es de 0.1478

Ejercicio 57

Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y la linterna funcionará sólosi sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?

  • Utilizaríamos X= Número de baterias que funcionan, así que sería P(x<=9), con n= 10 y p=0.81, el cual aparece al multiplicar (0.9*0.9)=0.81.
sum(dbinom(9:10, size = 10, prob = 0.81))  
## [1] 0.4067565
  • Obteniendo como resultado una probabilidad de 0.4067, es decir, alrededor del 40%

Ejercicio 59

Un reglamento que requiere que se instale un detector de humo en todas las casas previamente construidas ha estado en vigor en una ciudad particular durante 1 año. Al departamento de bomberos le preocupa que muchas casas permanezcan sin detectores. Sea p = la proporción verdadera de las casas que tienen detectores y suponga que se inspecciona una muestra aleatoria de 25 casas. Si ésta indica marcadamente que menos de 80% de todas las casas tienen un detector, el departamento de bomberos lanzará una campaña para la puesta en ejecución de un programa de inspección obligatorio. Debido a lo caro del programa, el departamento prefiere no requerir tales inspecciones a menos que una evidencia muestral indique que se requieren. Sea X el número de casas con detectores entre las 25 muestreadas. Considere rechazar el requerimiento de que p <= 0.8 si x <= 15.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el requerimiento sea rechazado cuando el valor real de p es 0.8?

  • Según la hipótesis dada x<=15, así que P(x<=15), n=25 y p=0.8
sum(dbinom(0:15, size = 25, prob = 0.8))
## [1] 0.01733187
  • La probabilidad sería de 0.0173, es decir alrededor 1.7%

b. ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = 0.7? ¿Cuándo p = 0.6?

  • Según esa misma hipótesis si rechazar el requerimiento es x<=15, implica que no rechazarlo es x>=15, para hallar la probabilidad sería P(x>=15)=1-P(x<=15), con n=25 y p= 0.7 o 0.6
1-sum(dbinom(0:15, size = 25, prob = 0.7))
## [1] 0.810564
  • La probabilidad sería de 0.8105, es decir, alrededor del 81%
1-sum(dbinom(0:15, size = 25, prob = 0.6))
## [1] 0.424617
  • La probabilidad sería de 0.4246, es decir, alrededor del 42%

c. ¿Cómo cambian las “probabilidades de error” de los incisos a) y b) si el valor 15 en la regla de decisión es reemplazado por 14.

  • Ahora x<=14 para los tres casos anteriores p=0.8, p=0.7 y p=0.6, pero n no cambia (n=25)
sum(dbinom(0:14, size = 25, prob = 0.8))
## [1] 0.00555492
1-sum(dbinom(0:14, size = 25, prob = 0.7))
## [1] 0.9022
1-sum(dbinom(0:14, size = 25, prob = 0.6))
## [1] 0.585775

Ejercicio 61

Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de 0.9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo 0.5 en lugar de 0.9?

Punto a

  • Para el tema A, apenas hay 2 libros y que por lo menos necesita la mitad entonces P(x<1) por lo tanto el único valor que puede tomar x es, x=0, con n=2 y p=0.9
1- dbinom(0, size = 2, prob = 0.9)
## [1] 0.99
  • Para el tema B, Hay 4 libros, ya que necesite por lo menos 2, P(x>=1), para pasar a x<=1, se debe restar con 1, así que P(x>=1)= 1-P(x<=1) así que los valores que toma x son x=0 y x=1, con n=4 y p=0.9
1- sum(dbinom(0:1, size = 4, prob = 0.9))
## [1] 0.9963

Punto b

Para este punto P(x>1) así que para pasar a x<1, se le resta el total así que P(x>1)=1-P(x<1), por lo tanto el único valor que puede tomar x es x=0, con n=2 pero ahora p=0.5

1-dbinom(0, size = 2, prob = 0.5)
## [1] 0.75
  • Para esta parte,P(x>=2), para pasarlos a x<=2, se le resta 1, así que P(x>=2)=1-P(x<=2), por lo tanto x toma valores de x=0 y x=1, con n=4 pero p=0.5
1- sum(dbinom(0:1, size = 4, prob = 0.5))
## [1] 0.6875

Ejercicio 65

Los clientes en una gasolinería pagan con tarjeta de crédito (A), tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga qué clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A) = 0.5, P(B) = 0.2 y P(C) = 0.3.

a. Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y varianza del número que paga con tarjeta de débito? Explique su razonamiento.

  • La media toma el valor de p, en este caso la media= n*p= (100)(0.2)= 20.
  • Por otro lado, la varianza= np(1-p)= (100)(0.2)(1-0.2)= 16.

b. Si los que pagan en efectivo equivalen al 30%, quiere decir que los que no serían el 70% restante, entonces la media= n*p =(100)(0.7)= 70

  • Por último, la varianza= n*p**(1-p)= (100)(0.7)(1-0.7)= 21

Ejercicio 67

Remítase a la desigualdad de Chebyshev dada en el ejercicio 44. Calcule P(X - mu)>=k*sigma con k = 2 y k = 3 cuando X Bin (20, 0.5) y compare con el límite superior correspondiente. Repita para X Bin(20, 0.75).

  • El problema nos dice que n=20 y p=0.5, para calcular mu=n*p:
p=0.5
n=20
mu=p*n
  • Así mismo s= raiz cuadrada de (np(1-p)):
sqrt(20*0.5*(1-0.5))
## [1] 2.236068
  • Así que mu=10 y s=2.23.
  • Reemplazando en la fórmula, valor absoluto de x-10>=2*2.23,debido al valor absoluto y a la desigualdad, x tomará dos valores distintos, en este caso 5.54>= x >=14.46:
1- sum(dbinom(6:14, size = 20, prob = 0.5))
## [1] 0.04138947
  • Ahora p=0.75, pero los demás valores serán iguales
1- sum(dbinom(6:14, size = 20, prob = 0.75))
## [1] 0.6171765
  • Para k=2, cuando p=0.5, la probabilidad será alrededor del 4% y cuando p=0.75, la probabilidad será del 61%

Sección 4.3 Distribución Normal

Ejercicio 29

En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.

a. Phi (c) = .9838

qnorm(0.9838)
## [1] 2.139441
  • El valor de la constante c es de 2.139441

b. P(0 <= Z <= c) = .291

  • Phi(c) - Phi(0) = .291
qnorm(.791)
## [1] 0.8098959
  • El valor de la constante c es de 0.8098959

c. P(c <= Z) = .121

  • Phi (0) – Phi (c) = 0.121
qnorm(1-0.121)
## [1] 1.170002
  • El valor de la constante c es de 1.170002

d. P(-c <= Z <= c) = .668

  • Phi (c) – Phi (-c) = 0.668
qnorm(0.834)
## [1] 0.9700933
  • El valor de la constante c es de 0.9700933

e. P(c <= |Z|) = .016

  • Phi (c) – Phi (-c) = 0.016
qnorm(0.508)
## [1] 0.02005437
  • El valor de la constante c es 0.02005437

Ejercicio 31

Determine Z para lo siguiente:

  1. alpha = .0055
-qnorm(.0055)
## [1] 2.542699
  • El valor de Z para alpha igual a .0055 es de 2.542699
  1. alpha = .09
-qnorm(.09)
## [1] 1.340755
  • El valor de Z para alpha igual a .09 es de 1.340755
  1. alpha = .663
-qnorm(.663)
## [1] -0.4206646
  • El valor de Z para alpha igual a .663 es de -0.4206646

Ejercicio 33

Las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50 cm3) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds in Periodic Motor Vehicle Inspections” (J. of Automobile Engr., 2008: 1615–1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea a lo sumo 50 km/h?

  • La media µ para este problema fue de 46.8, la desviación estándar σ fue de 1.75 y el valor z fue de 50.
  • P(Z <= z)
  • P(Z <= 50)
pnorm(50,mean=46.8,sd=1.75,lower.tail=TRUE)
## [1] 0.9662681
  • La probabilidad de que la velocidad máxima sea a lo sumo 50 km/h es de 0.9662681

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h?

  • La media µ para este ejercicio fue de 46.8, la desviación estándar σ fue de 1.75 y el valor z fue de 48.
  • P(Z >= z)
  • P(Z >= 48)
pnorm(48,mean=46.8,sd=1.75,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.2464466
  • La probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h es de 0.2464466

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar?

  • La media µ para este ejercicio fue de 46.8, la desviación estándar σ fue de 1.5 y el valor z fue de 48.55
  • P (Z <= z)
  • P (Z <= 48.55)
pnorm(48.55,mean=46.8,sd=1.5,lower.tail=TRUE)
## [1] 0.8783275
  • La probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar es de 0.8783275

Ejercicio 35

Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con µ = 8.8 y σ = 2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester- Forwarder Softwood Thinning” (Forest Products J., mayo de 1997; 36–41).

  • El valor de la media µ para este ejercicio fue de 8.8 y la desviación estándar σ fue 2.8

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar será por lo menos de 10 pulg? ¿Y que exceda de 10 pulg?

  • P (Z >= z)
  • P (Z >= 10)
pnorm(10,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.3341176
  • La probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar será por lo menos de 10 pulg y que exceda de 10 pulg es 0.3341176

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 20 pulg?

  • P (Z >= z)
  • P (Z >= 20)
pnorm(20,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=FALSE)
## [1] 3.167124e-05
  • La probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 20 pulg es de 3.167124e-05, aproximadamente 0%

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de entre 5 y 10 pulg?

  • P(5 <= Z <= 10)
pnorm(10,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=TRUE) - pnorm(5,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5785145
  • La probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de entre 5 y 10 pulg es de 0.5785145

d. ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 – c, 8.8 + c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?

  • P(Z) = P(-2.33) = 0.9901 - 0.0099 = 0.9802 ; C = 6.524
qnorm(0.98, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)
## [1] 14.5505
  • El valor de c para este caso es de 6.524

e. Si se seleccionan cuatro árboles al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno tenga un diámetro de más de 10 pulg?

  • P(x >= 10) = 0.3341176
  • B(x; n, p)
  • B(1; 4, 0.3341176)
sum(dbinom(1:4, size = 4, prob = 0.3341176))
## [1] 0.803397
  • la probabilidad de que por lo menos uno de cuatro árboles escogidos al azar, tenga un diámetro de más de 10 pulg es 0.803397

Ejercicio 37

Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L) tiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo “Mathematical Model of Chloride Concentration in Human Blood”, J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25–30, incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoya esta suposición).

  • Para este problema, la media µ fue de 104 y la desviación estándar σ fue de σ.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105? ¿Sea menor que 105? ¿Sea cuando mucho de 105?

  • El valor de z es 105 para los tres incisos de a.
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105?
  • P(Z = z)
  • P(Z = 105)
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)-pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 0
  • La probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105 es de 0
  1. ¿Sea menor que 105?
  • P(Z < z)
  • P(Z < 105)
pnorm(105,mean=104,sd=5,lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5792597
  • La probabilidad de que la concentración de cloruro sea menor que 105 es 0.5792597
  1. ¿Sea cuando mucho de 105?
  • P(Z <= z)
  • P(Z <= 105)
pnorm(105,mean=104,sd=5,lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5792597
  • La probabilidad de que la concentración de cloruro sea cuando mucho de 105 es de 0.5792597

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro difiera de la media por más de 1 desviación estándar? ¿Depende esta probabilidad de los valores de µ y σ?

  • P(99 <= Z <= 109)
1 - (pnorm(109, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE) - pnorm(99, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))
## [1] 0.3173105
  • La probabilidad de que la concentración de cloruro difiera de la media por más de 1 desviación estándar es de 0.3173105. No, no depende de los valores de µ y σ.

c. ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de los valores de concentración de cloruro?

  • 0.1% = 0.0010; Z = ±3.1
  • (X -µ)/ σ; σ = 5; µ = 104; X = µ±Z*σ

Para límite inferior

104-3.1*5
## [1] 88.5

Para límite superior

104+3.1*5
## [1] 119.5
  • El intervalo <88.5 o >119.5 caracterizaría el .1% más extremo de los valores de concentración de cloruro.

Ejercicio 39

a. Si una distribución normal tiene µ=30 y σ=5, ¿cuál es el 91° percentil de la distribución?

  • Valores asignados
  • Percentil: 91
  • Media (µ): 30
  • Desviación estandar(σ): 5
qnorm(.91, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 36.70378
  • El 91° percentil es 36.70378

b. ¿Cuál es el 6° percentil de la distribución?

  • Valores asignados
  • Percentil: 6
  • Media (µ): 30
  • Desviación estandar(σ): 5
qnorm(0.06, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 22.22613
  • El 6° percentil es 22.22613

c. El ancho de una línea grabada en un “chip” de circuito integrado normalmente está distribuido con media de 3.0 µm y desviación estándar de 0.140. ¿Qué valor de ancho separa el 10% de las líneas más anchas del 90% restante?

  • Valores asignados
  • Ancho de las lineas: 0.90
  • Media (µ): 3.0
  • Desviación estandar(σ): 0.140
qnorm(0.90, mean = 3.000, sd = 0.140, lower.tail=TRUE)
## [1] 3.179417
  • El valor de ancho que separa el 10% de las líneas más anchas del 90% restante 3.179417

Ejercicio 41

El dispositivo de apertura automática de un paracaídas de carga militar se diseñó para que lo abriera a 200 m sobre el suelo.Suponga que la altitud de abertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200 m y desviación estándar de 30 m. La carga útil se dañará si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que se dañe la carga útil de cuando menos uno de cinco paracaídas lanzados en forma independiente?

  • El valor máximo corresponde a 100 metros. Como los paracaídas son lanzados de manera independiente, la probabilidad final es la multlicación de la probabilidad de un evento independiente por la cantidad de eventos, en este caso, 5.
p<-pnorm(100, mean = 200, sd = 30, lower.tail=TRUE)
p*5
## [1] 0.002145302
  • La probabilidad de que se dañe la carga cuando se lanzan cinco paracaídas de forma independiente es de 0.002

Ejercicio 43

Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia?

  • Para resolver dos incógnitas se necesitan dos ecuaciones. Con las probabilades, es posible indentidicar los valores de a y b en la función de distribución normal, los cuales son resultados de una ecuación que involucra a la media µ y desviación estandar σ, es decir:

- Probabilidad del 0.1 para valores mayores de 10.256

  • Pnormal(Z>a) = 1-Pnormal(Z<a) = 0.1
  • Pnormal (Z<a) = 0.9
  • Acorde a la tabla de probabilidad normal, a tendría que tener un valor de 1.28
  • a => m+1.28 s=10.256

De igual manera, probabilidad del 0.05 para resistencias menores a 9.671

  • Pnormal(Z<b) = 0.05
  • De acuerdo a la tabla, b correspondería a -2.57
  • b => μ-2.57σ=9.671

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones:

library(matlib)
## Warning in rgl.init(initValue, onlyNULL): RGL: unable to open X11 display
## Warning: 'rgl.init' failed, running with 'rgl.useNULL = TRUE'.
A <- matrix(c(1, 1.28, 1, -2.57), 2, 2, TRUE)
b <- c(10.256, 9.671)
showEqn(A, b)
## 1*x1 + 1.28*x2  =  10.256 
## 1*x1 - 2.57*x2  =   9.671
Solve(A,b)
## x1    =  10.06150649 
##   x2  =   0.15194805
  • Así, la media µ corresponde a 10, mientras que la desviación estándar σ a 0.2

Ejercicio 45

Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de 0.500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de .004 pulg de su valor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de 0.499 pulg y desviación estándar de 0.002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable?

  • Valores asignados
  • X: 0.5
  • Media (µ): 0.499
  • Desviación estandar(σ): 0.002
  • P(0.496<Z<0.504)
  • Z= [(B-m)/ s]–[(A -m)/s]= [(0.504–0.499)/0.002]-[(0.496-0.499)/0.002]= 2.5–(-1.5)
  • P(Z)= 0.9938–0.0668= 0.927
  • P(no aceptable)= 1–0.927= 0.073
(1- (pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)- pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)))
## [1] 0.07301687
  • El porcentaje de cojinetes que no será aceptable es 7.301687%

Ejercicio 47

La distribución de peso de paquetes enviados de cierta manera es normal con valor medio de 12 lb y desviación estándar de 3.5 lb. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c más allá del cual habrá un cargo extra. ¿Qué valor de c es talque 99% de todos los paquetes estén por lo menos 1 lb pordebajo del peso de cargo extra?

  • Valores asignados
  • Media (µ): 12
  • Desviación estandar (σ): 3.5
  • X: Peso del paquete
  • X ∼ N(x;µ=12,σ^2= 12.25)
  • P(X≤c-1)= 0.99
  • P(Z≤(c-1-12)/3.5))= P(Z≤(c-13)/3.5)= 0.99
  • c-13/3.5= 2.33
  • c= 21.155
qnorm(0.99, mean = 12, sd = 3.5, lower.tail=TRUE) 
## [1] 20.14222
  • El valor de c talque 99% de todos los paquetes estén por lo menos 1 lb pordebajo del peso de cargo extra es 20.14222

Ejercicio 49

Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intevvalos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.

Valores asignados:

  • Media (µ): 3432
  • Desviación estandar (σ): 483

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos? ¿Esté entre 3000 y 4000 gramos?

P(X>4000)=1-P(X<=4000)

1-pnorm(4000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.1198007
  • La probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos es de 0.1198007

P(3000 <= x <= 4000)

pnorm(4000,mean=3432,sd=483,lower.tail=TRUE) - pnorm(3000,mean=3432,sd=483,lower.tail=TRUE)
## [1] 0.694648
  • La probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo esté entre 30000 y 4000 gramos es de 0.694648

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos?

  • P(X<2000óX>5000)= P(X<2000)+ P(X>5000)
pnorm(2000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=TRUE) + pnorm(5000, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.002098803
  • La probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos es de 0.002098803

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?

  • P(X>3175.15)
pnorm(3175.15, mean = 3432, sd = 483, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.702561
  • La probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras es de 0.702561

d. ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de todos los pesos al nacer?

  • z= ±3.290527, µ= 3432, σ= 482

Para el extremo inferior

3432-3.290527*482 
## [1] 1845.966

Para el extremo superior

3432+3.290527*482 
## [1] 5018.034
  • El .1% más extremo de todos los pesos al nacer es >5018.034 o <1845.966

e. Si X es una variable aleatoria con una distribución normal ya es una constante numérica , entonces Y ! aX también tiene una distribución normal. Use esto para determinar la distribución de pesos al nacer expresados en libras (forma, media y desviación estándar) y luego calcule otra vez la probabilidad del inciso (c). ¿Cómo se compara ésta con su respuesta previa?

Valores asignados

  • Media (µ): 7.5662
  • Desviación estandar(σ): 1.0626
  • P(X>7)
pnorm(7, mean = 7.5662, sd = 1.0626, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.7029292

La distribución de pesos expresados en libras es: Normal µ = 7.5662, Desviación estándar σ = 1.0626, 0.7029292