Sección 3.4. Distribución binomial
Ejercicio 47
Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:
a. B(4; 15, .3)
probabilidad = 0.3
n= 15
p(x≤4)
sum(dbinom(0:4, size = 15, prob = 0.3))
## [1] 0.5154911
b. b(4; 15, .3)
probabilidad = 0.3
n = 15
p(x=4)
dbinom(4, size = 15, prob = 0.3)
## [1] 0.2186231
c. b(6; 15, .7)
probabilidad = 0.7
n = 15
(x=6)
(dbinom(6, size = 15, prob = 0.7))
## [1] 0.01159
d.P(2 ≤ X ≤ 4) Cuando X ,- Bin(15, .3)
probabilidad = 0.3
n = 15
P(X ≤ 4) − P(X ≤ 1)
(4; 15, 0.2) − B(1; 15, 0.2)
(pbinom(4, size = 15, prob = 0.3))-(pbinom(1, size = 15, prob = 0.3))
## [1] 0.4802235
e.P(2 ≤ X) Cuando X ,- Bin(15, .3)
probabilidad = 0.3
n = 15
1- P(X ≤ 1)
1- sum(dbinom(0:1, size = 15, prob = 0.3))
## [1] 0.9647324
f.P(X ≤ 1) Cuando X ,- Bin(15, .7)
probabilidad = 0.7
n = 15
1- P(X ≤ 0)
sum(dbinom(0:0, size = 15, prob = 0.7))
## [1] 1.434891e-08
g.P(2 < X < 6) Cuando X ,- Bin(15, .3)
probabilidad = 0.3
n = 15
P(X < 5) − P(X < 2)
B(5; 15, 0.3) − B(2; 15, 0.3)
sum(dbinom(0:5, size = 15, prob = 0.3))-sum(dbinom(0:2, size = 15, prob = 0.3))
## [1] 0.5947937
Ejercicio 49
Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tiene imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.
a. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea segunda?
probabilidad = 0.1
n = 6
B(1; 6, 0.1)
dbinom(1, size = 6, prob = 0.1)
## [1] 0.354294
b. Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que por lo menos dos sean segundas?
probabilidad = 0.1
n = 6
P(X≥2)
sum(dbinom(2:6, size = 6, prob = 0.1))
## [1] 0.114265
c. Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho cinco deban ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean segundas?
probabilidad = 0.9
n = 6
P(X≥4)
sum(dbinom(4:5, size = 5, prob = 0.9) )
## [1] 0.91854
Ejercicio 51
Remítase al ejercicio previo.
a. ¿Cuál es el número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax?
x<- 25
f<-1/4
h<-x*f
print(h)
## [1] 6.25
b. ¿Cuál es la desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax?
ds<-0
ds<- sqrt(0.25*25*0.75)
print(ds)
## [1] 2.165064
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de 2 desviaciones estándar?
j<- h + 2 * ds
d<- 1 - 0.9695775
print(d)
## [1] 0.0304225
Ejercicio 53
El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar
Probabilidad de exito:Haber cometido infracciones
P= 0.25+0.10+0.05= 0.4
n=15
a. Por lo menos 10 no tengan infracciones
P(x>= 10)=1-p(x<=9)
1-pbinom(9, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.0338333
b. Menos de la mitad tengan por lo menos una infracción p(x<=7)
x=7
pbinom(7, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.7868968
c. El número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, inclusive.
x=10 x=4
P(5<=X<=10)= p(x<=10)-p(x<=4)
pbinom(10, size=15, prob=0.4)-pbinom(4, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.7733746
Ejercicio 55
Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía. De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?
Probabilidad de que sea llevado a servicio y reemplazado (prob)
Prob=(0.20)(0.40)=0.08
x=2 n=10
dbinom(2, size = 10, prob = 0.08)
## [1] 0.147807
Ejercicio 57
Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?
dbinom(9, size=10, prob=0.81) + dbinom(10, size=10, prob=0.81)
## [1] 0.4067565
La probabilidad de que por lo menos nueve linternas funcionen correctamente es de 0.407
Teniendo en cuenta que la linterna requiere 2 baterías tipo D y que ambas tengan voltaje aceptable, se supone que estas son independientes, entonces para hallar la probabilidad de que una linterna funcione, primero debemos percatarnos de que las dos baterías que tiene, funcionen correctamente, es decir, P (0.9*0.9) = P(funcione la linterna).
Ejercicio 61
Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de 0.9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo?
tiempo= 0.9
n= 2
p= 1:2
sum(dbinom(1:2, size = 2, prob = 0.9))
## [1] 0.99
tiempo= 0.9
n= 4
p= 2:4
sum(dbinom(2:4, size = 4, prob = 0.9))
## [1] 0.9963
¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo .5 en lugar de .9?
tiempo= 5
n=2
p= 1:2
sum(dbinom(1:2, size = 2, prob = 0.5))
## [1] 0.75
tiempo= 5
n=4
n=2:4
sum(dbinom(2:4, size = 4, prob = 0.5))
## [1] 0.6875
Ejercicio 65
Los clientes en una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A), tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A) = .5 P(B) = .2,y P(C) = .3.
a. Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y la varianza del número que paga con tarjeta de débito? Explique su razonamiento.
Debido a que estamos trabajando con 100 clientes, y éstos se rigen por ciertas probabilidades, nos están preguntando por aquellos que pagan con tarjeta debido, que tienen una probabilidad de 0.2, entonces la media estaría determinada por el número de clientes multiplicado por la probabilidad del evento.
VARIANZA
n <- 100
p <- 0.2
n*p*(1-p)
## [1] 16
b. Conteste el inciso (a) para el número entre los 100 que no pagan con efectivo.
Cómo nos preguntan de acuerdo a la probabilidad de clientes que no pagan en efectivo, sumamos la probabilidad de aquellos que cancelan con tarjeta de crédito (A) o tarjeta de débito (B), obteniendo una nueva probabilidad, que debe ser multiplicada por el número de clientes.
VARIANZA
n <- 100
p <- 0.2 + 0.5
n*p*(1-p)
## [1] 21
Sección 4.3 Distribución Normal
Ejercicio 29
En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.
a
φ(c) = 0.9838
pnorm(2.14, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.9838226
b
P(0 ≤ Z ≤ c) = 0.291
pnorm(0.81, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.2910299
c
P(c ≤ Z) = 0.121
pnorm(-1.17, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.1210005
d
P(-c ≤ Z ≤ c) = 0.668
pnorm(0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE) - pnorm(-0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.6679535
e
P(c ≤ |Z|) = 0.16
pnorm(0.205, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE) - pnorm(-0.205, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.1624279
Ejercicio 31
Determine Z (valor del percentil) para lo siguiente
Dado que la función para notación del percentil está dada por:
p°= 100(1-landa)°
Dado que es una distribución normal la media mean=0 y la desviación estándar
sd=1
a.
Landa<-.0055
qnorm((1-Landa), mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 2.542699
b.
Landa<-.09
qnorm((1-Landa), mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] 1.340755
c.
Landa<-.663
qnorm((1-Landa), mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
## [1] -0.4206646
Ejercicio 33
Las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50cm3) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds inPeriodic Motor Vehicle Inspections” (J. of Automobile Engr.,2008: 1615–1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación. estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea a lo sumo 50 km/h?
desviación estándar = 1.75
media = 46.8
Xmax = 50
pnorm(50, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.9662681
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h?
desviación estándar = 1.75
media = 46.8
Xmin = 48
pnorm(48, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.2464466
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar?
desviación estándar = 1.75
Ejercicio 35
Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con y " 2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester MForwarder Softwood Thinning” (Forest Products J., mayo de 1997; 36–41).
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar será por lo menos de 10 pulg? ¿Y que exceda de 10 pulg?
desviación estándar = 2.8
media = 8.8
Xmin = 10
Xmax = 10
pnorm(10,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=TRUE)-pnorm(10,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.3317649
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 20 pulg?
desviación estándar = 2.8
media = 8.8
Xmin = 20
pnorm(20,mean=8.8,sd=2.8,lower.tail=FALSE)
## [1] 3.167124e-05
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de entre 5 y 10 pulg?
desviación estándar = 2.8
media = 8.8
Xmax = 10
Xmin = 5
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE) - pnorm(5, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5785145
d. ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 – c, 8.8 + c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?
desviación estándar = 2.8
e. Si se seleccionan cuatro árboles al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno tenga un diámetro de más de 10 pulg?
desviación estándar = 2.8
media = 8.8
Xmin = 10
a <- pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)
probabilidad = a
n = 4
P(x≥4)
sum(dbinom(1:4, size = 4, prob = a))
## [1] 0.803397
Ejercicio 37
Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L) tiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo “Mathematical Model of Chloride Concentration in Human Blood”, J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25–30, incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoya esta suposición).
media(miu) =104 desviacion estandar(sigma)=5
x=105
a. * ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105?
P(x=105)
dnorm(105, mean =0, sd =1,log = FALSE)
## [1] 0
¿Sea menor que 105?
p(x<105)
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5792597
* ¿Sea cuando mucho de 105?
p(x<= 105)
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
## [1] 0.5792597
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro difiera de la media por más de 1 desviación estándar? ¿Depende esta probabilidad de los valores de m y s?
xmax= mu+sigma
Xmin=mu-sigma
sigma<-5
mu<-104
1-(pnorm(mu+sigma, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE) - pnorm(mu-sigma, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))
## [1] 0.3173105
c.¿Cómo caracterizaría el .1% (0.001) más extremo de los valores de concentración de cloruro?
Con datos de tabla Z=-3.1
Z=(X-miu)/sigma
X= (Z*sigma)+miu
Z<- -3.1
miu<-104
sigma<-5
((Z)*sigma)+miu
## [1] 88.5
qnorm(.001, mean = 104, sd = 5, lower.tail=FALSE)
## [1] 119.4512
Ejercicio 39
a. Si una distribución normal tiene mu=30 y sigma= 5.
¿Cuál es el 91º percentil de la distribución?
qnorm(.91, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 36.70378
b. ¿Cuál es el 6° percentil de la distribución?
qnorm(.06, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 22.22613
c. El ancho de una línea grabada en un “chip” de circuito integrado normalmente está distribuido con media de 3.00 micrómetros y desviación estándar de .140. ¿Qué valor de ancho separa el 10% de las líneas más anchas del 90% restante?
Debajo del percentil 90° con probabilidad p=0.90 se encuentran los datos restantes, este percentil está separando las dos cantidades.
qnorm(.90, mean = 3, sd = .140, lower.tail=TRUE)
## [1] 3.179417
Ejercicio 41
desviación estándar = 1
media = 0
Xmax = r
a <-pnorm(r, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
probabilidad = a
n = 5
probabilidad = 1
dbinom(1, size = 5, prob = a)
## [1] 0.002141622
Ejercicio 43
Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia?
10 % -> 10.256 ohms
5 % -> 9.671 ohms
library(matlib)
## Warning: package 'matlib' was built under R version 4.1.1
a<- matrix(c(1,1.28,1,-2.57),2,2,TRUE)
b<- c(10.256,9.671)
showEqn(a,b)
## 1*x1 + 1.28*x2 = 10.256
## 1*x1 - 2.57*x2 = 9.671
solve(a,b)
## [1] 10.0615065 0.1519481
Ejercicio 45
Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de .500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de .004 pulg de su valor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de .499 pulg y desviación estándar de .002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable?
desviación= 0.002
valor medio= 0.499
diámetro promedio= 500
(1 - (pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE) - pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)))
## [1] 0.07301687
Ejercicio 47
Ejercicio 49
Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intervalos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos?
desviación estándar = 482
media = 3432
Xmin = 4000
1-P(X>4000)
a<- pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)
print(1-a)
## [1] 0.119314
¿Esté entre 3000 y 4000 gramos?
P(3000≤X≤4000)
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)-pnorm(3000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.6956306
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos? P(20005000)
pnorm(2000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)+ pnorm(5000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.002055122
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?
1 Libra = 454 gramos
7 Libra = 3178
desviacion estandar = 482
d. ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de todos los pesos al nacer?
desviacion estandar = 482
media = 3432
432±(482 )3.295
α=0.0005
qnorm(0.0005, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)
## [1] 1845.966
1-0.0005=0.9995
qnorm(0.9995, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)
## [1] 5018.034
e. Si X es una variable aleatoria con una distribución normal y a es una constante numérica , entonces Y ! aX también tiene una distribución normal. Use esto para determinar la distribución de pesos al nacer expresados en libras (forma, media y desviación estándar) y luego calcule otra vez la probabilidad del inciso (c). ¿Cómo se compara ésta con su respuesta previa?
3432 gramos = 7.55 lb
482 gramos = 1.06 lb
pnorm(7, mean = 7.55, sd = 1.0608, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.6979371