Ejercicios. Parte 1
Ejercicio 47
Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:
a) B(4; 15, 0.3)
Solución
P(x ≤ 4) = B (4;15,0.3)
x = 4
n = 15
p = 0.3
pbinom(4, size = 15, prob = 0.3)
## [1] 0.5154911
R/ La probabilidad es de 0.515
b) b(4; 15, 0.3)
Solución
P(X = 4)
dbinom(4, size = 15, prob = 0.3)
## [1] 0.2186231
R/ La probabilidad es de 0.218
c) b(6; 15, 0.7)
Solución
P(X = 6)
dbinom(6, size = 15, prob = 0.7)
## [1] 0.01159
R/ La probabilidad es de 0.011
d) P(2 ≤ X ≤ 4) cuando X~Bin(15, 0.3)
Solución
P(2 ≤ x ≤ 4) = P(x = 2, 3 o 4) = P(x ≤ 4) – P(x ≤ 1).
P(4;15,0.3) – P(1;15,0.3)
pbinom(4, size=15, prob=0.3)-pbinom(1, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.4802235
R/ La probabilidad es de 0.480
e) P(2 ≤ X) cuando X~Bin(15, 0.3)
Solución
P(2 ≤ X) = 1 – P(X ≥ 1) = 1 – P(1;15,0.3)
1 - dbinom(1, size = 15, prob = 0.3)
## [1] 0.96948
R/ La probabilidad es de 0.969
f) P(X ≤ 1) cuando X~Bin(15, 0.7)
Solución
P(X ≤ 1) = B (1;15,0.7)
x = 1
n = 15
p = 0.7
pbinom(1, size = 15, prob = 0.7)
## [1] 5.165607e-07
R/ La probabilidad es de 5.165e-7
g) P(2 < X < 6) cuando X~Bin(15, 0.3)
Solución
P(2 < X < 6) = P(x = 2, 3, 4 o 5) = P(x ≤ 5) – P(x ≤ 2)
P(2 < X < 6) = B(5; 15, 0.3) – B(2; 15, 0.3)
pbinom(5, size=15, prob=0.3)-pbinom(2, size=15, prob=0.3)
## [1] 0.5947937
R/ La probabilidad es de 0.594
Ejercicio 49
Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.
a) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que sólo una sea segunda?
Solución
Se puede distinguir lo siguiente:
b(1; 6, 0.1), de tal manera que P(X-1)
dbinom(1, size = 6, prob = 0.1)
## [1] 0.354294
R/ La pobabilidad de que sólo una sea segunda es de 0.354
b) Entre seis copas seleccionadas al azar, ¿qué tan probable es que por lo menos dos sean segundas?
Solución
La probabilidad de éxito para este caso está dada por:
P(X ≥ 2) = 1 [P(X=0) + P(X=1)]
1-sum(dbinom(0:1, size = 6, prob = 0.1))
## [1] 0.114265
R/ La probabilidad de que por lo menos dos sean segundas es de 0.114
c) Si las copas se examinan una por una, ¿cuál es la probabilidad de que cuando mucho cinco deban ser seleccionadas para encontrar cuatro que no sean segundas?
Solución
La probabilidad de éxito está dada por la suma de:
P(X=0) = (0; 4, 0.1)
dbinom(0, size=4, prob=0.1)
## [1] 0.6561
P(X=1) = (1; 4, 0.1)
dbinom(1, size=4, prob=0.1) * 0.9
## [1] 0.26244
dbinom(0, size=4, prob=0.1) + dbinom(1, size=4, prob=0.1) * 0.9
## [1] 0.91854
R/ En este caso, la probabilidad de de que cuando mucho cinco copas deban ser seleccionadas para encontrar que no sean segundas es de 0.918
Ejercicio 51
Remítase al ejercicio previo.
Enunciado ejercicio 50. Se utiliza un número telefónico particular para recibir tanto llamadas de voz como faxes. Suponga que 25% de las llamadas entrantes son faxes y considere una muestra de 25 llamadas entrantes.
a) ¿Cuál es el número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax?
Solución
p=0.25
n=25
p*n
## [1] 6.25
R/ El número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax es de 6.25
b) ¿Cuál es la desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax?
Solución
sqrt(25*0.25*(1-0.25))
## [1] 2.165064
R/ La desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax es de 2.165
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de 2 desviaciones estándar?
Solución
X = 6.25 + 2(2.165064) = 10.58
P(X>10.58) = 1- P(X<10.58)
1-pbinom(10.58, size=25, prob=0.25)
## [1] 0.02966991
R/ La la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de 2 desviaciones estánda es de 0.029
Ejercicio 53
El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar
a) por lo menos 10 no tengan infracciones?
Solución
1-pbinom(9, size=15, prob=0.6)
## [1] 0.4032156
b) menos de la mitad tengan por lo menos una infracción?
Solución
pbinom(7, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.7868968
c) el número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, inclusive?
Solución
pbinom(10, size=15, prob=0.4)-pbinom(4, size=15, prob=0.4)
## [1] 0.7733746
Ejercicio 55
Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía. De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?
Solución
n = 10
p = 0.20 * 0.40 = 0.08
dbinom(2, size = 10, prob = 0.08)
## [1] 0.147807
R/ La probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía es de 0.147
Ejercicio 57
Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?
Solución
X = #funciona
B = Voltaje aceptable
P(funciona linterna) = P(2 baterías sirven)
p = (0.9)(0.9) = 0.81
dbinom(9, size=10, prob=0.81) + dbinom(10, size=10, prob=0.81)
## [1] 0.4067565
R/ La probabilidad de que por lo menos nueve van a funcionar es del 0.406
Ejercicio 59
Un reglamento que requiere que se instale un detector de humo en todas las casas previamente construidas ha estado en vigor en una ciudad particular durante 1 año. Al departamento de bomberos le preocupa que muchas casas permanezcan sin detectores. Sea p = la proporción verdadera de las casas que tienen detectores y suponga que se inspecciona una muestra aleatoria de 25 casas. Si ésta indica marcadamente que menos de 80% de todas las casas tienen un detector, el departamento de bomberos lanzará una campaña para la puesta en ejecución de un programa de inspección obligatorio. Debido a lo caro del programa, el departamento prefiere no requerir tales inspecciones a menos que una evidencia muestral indique que se requieren. Sea X el número de casas con detectores entre las 25 muestreadas. Considere rechazar el requerimiento de que si p ≥ .8 si x ≤ 15.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el requerimiento sea rechazado cuando el valor real de p es 0.8?
Solución
n = 25
p = 0.8
pbinom(15, size=25, prob=0.8)
## [1] 0.01733187
R/ La probabilidad de que el requerimiento sea rechazado cuando el valor real de p es 0.8 es de 0.017
b) ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = 0.7? ¿Cuando p = 0.6?
Solución
p = 0.7
1-pbinom(15, size=25, prob=0.7)
## [1] 0.810564
R/ La probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = 0.7 es de 0.810
p=0.6
1-pbinom(15, size=25, prob=0.6)
## [1] 0.424617
R/ La probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p = 0.6 es de 0.424
c) ¿Cómo cambian las “probabilidades de error” de los incisos (a) y (b) si el valor 15 en la regla de decisión es reemplazado por 14?
Solución
p x ≤ 14
p = 0.8
pbinom(14, size=25, prob=0.8)
## [1] 0.00555492
p = 0.7
1-pbinom(14, size=25, prob=0.7)
## [1] 0.9022
p = 0.6
1-pbinom(14, size=25, prob=0.6)
## [1] 0.585775
R/ Las probabilidades de error si se reemplaza el valor 15 en la regla de decisión por 14 aumentan con p = 0.7 (de 0.810 a 0.902) y p = 0.6 (de 0.424 a 0.585), por otro lado, en p = 0.8 disminuye (de 0.017 a 0.005).
Ejercicio 61
Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de .9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo 0.5 en lugar de 0.9?
Solución
p(0.9)
p(x≥2)= 1-p(x≤1)
=1-0,0037 = 0,9963
Cuando p = 0.9 en el tema “A”
1-pbinom(0, size = 2, prob = 0.9)
## [1] 0.99
Cuando p = 0.9 en el tema “B”
1-pbinom(1, size = 4, prob = 0.9)
## [1] 0.9963
p(0.5)
Cuando p = 0.5 en el tema “A”
1-pbinom(0, size = 2, prob = 0.5)
## [1] 0.75
Cuando p = 0.5 en el tema “B”
1-pbinom(1, size = 4, prob = 0.5)
## [1] 0.6875
Ejercicio 65
Los clientes en una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A), tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A) =.5, P(B) =.2, y P(C) = .3.
a) Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y la varianza del número que paga con tarjeta de débito? Explique su razonamiento.
Solución
n = 100 ; P = 0.2
La varianza es igual a:
n <- 100
p <- 0.2
n*p*(1-p)
## [1] 16
b) Conteste el inciso (a) para el número entre los 100 que no pagan con efectivo.
n = 100; P = 0.7
La varianza es igual a:
n <- 100
p <- 0.2 + 0.5
n*p*(1-p)
## [1] 21
Ejercicio 67
Remítase a la desigualdad de Chebyshev dada en el ejercicio 44, Calcule P(|X-u|) ≥ kσ) con k=2 y k=3 cuando X ∼ Bin(20, 0.5) y compare el limite superior correspondiente. Repita para X ∼ Bin(20, 0.75).
Solución
P(|X - μ |≥ kσ); X ∼ Bin(n,p); μx = E(X) = n*p; σx = (npq)^1/2; q = 1 - p
La propabilidad está dada por X ∼ Bin(20, 0.5); p = 0.5; n = 20
20*0.5
## [1] 10
μx = 10
sqrt(20*0.5*(1-0.5))
## [1] 2.236068
σx = 2.236068
Para k = 2 ; P(|X - μ |≥ k2.236068) = P|(X - 10)≥ k2.236068| + P(X - 10)≤ (-k2.236068)
1 - P|(X-10)≤ 4.47616| + P|(X-10) ≤ (-4.47616)|
1 - P(X ≤ 14.47616) + P(X ≤ 5.52384)
1-pbinom(14.47616, size=20, prob=(0.5)) + pbinom(5.52383, size=20, prob=0.5)
## [1] 0.04138947
Entonces, P(|X - μ |≥ 2σ) = 0.04138947
Para k=3
1 - P|(X-10)≤ 6.708204| + P|(X-10) ≤ (-6.708204)|
1 - P(X ≤ 16.708204) + P(X ≤ 3.291706)
1-pbinom(16.708204, size=20, prob=(0.5)) + pbinom(3.291706, size=20, prob=0.5)
## [1] 0.002576828
Entonces, P(|X - μ |≥ 3σ) = 0.002576828
Caso X ∼ Bin(20, 0.75)
n = 20; p = 0.75
20*0.75
## [1] 15
μx = 15
sqrt(20*0.75*(1-0.75))
## [1] 1.936492
σx = 1.936492
Para k = 2; P(|X - μ |≥ k1.936492) = P|(X - 10)≥ k1.936492| + P(X - 10)≤ (-k1.936492)
1 - P|(X-10)≤ 3.872984| + P|(X-10) ≤ (-3.872984)|
1 - P(X ≤ 18.872984) + P(X ≤ 11.127016)
1-pbinom(18.872984, size=20, prob=(0.75)) + pbinom(11.127016, size=20, prob=0.75)
## [1] 0.06523779
Entonces, P(|X - μ |≥ 2σ) = 0.06523779
Para k=3
1 - P|(X-10)≤ 5.809484| + P|(X-10) ≤ (-5.809484)|
1 - P(X ≤ 20.809476) + P(X ≤ 9.190524)
1-pbinom(20.809476, size=20, prob=(0.75)) + pbinom(9.190524, size=20, prob=0.75)
## [1] 0.003942142
Entonces, P(|X - μ |≥ 3σ) = 0.003942142
Ejercicios. Parte 2
Ejercicio 29
En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.
a) Ф (c) = 0.9838.
Solución
P (z ≤ 2.14)
El valor de C es igual a:
qnorm(0.9838)
## [1] 2.139441
b) P(0 ≤ Z ≤ c) = .291
Solución
Ф(c) – Ф (0) = 0.291
El valor de C es igual a:
qnorm(.291)
## [1] -0.5504657
c) P(c ≤ Z) = .121
Solución
P (c ≤ z) = Ф (c) = 0.121
El valor de c es igual a:
qnorm(.121)
## [1] -1.170002
d) P(-c ≤ Z ≤ c) = .668
Solución
P (- c ≤ z ≤ c) = Ф(c) – Ф (-c) = 0.668
El valor de c es igual a:
qnorm(.668)
## [1] 0.4343972
e) P(c ≤ |Z|) = .016
Solución
P (- c ≤ z ≤ c) = Ф(c) – Ф (-c) = 0.016
El valor de c es igual a:
qnorm(.016)
## [1] -2.144411
Ejercicio 31
Determine Zα para lo siguiente:
- Zα detona el valor sobre el eje z para el cual del área bajo la curva z queda a la derecha de Zα, por lo tanto Zα = 100( 1- α)°.
a) α = .0055
Solución
- Zα = 99.45° percentil de la distribución normal estandar.
qnorm(.0055)
## [1] -2.542699
b) α = .09
Solución
- Zα = 91° percentil de la distribución normal estandar
qnorm(.09)
## [1] -1.340755
c) α = .663
Solución
- Zα = 33.7° percentil de la distribución normal estandar
qnorm(.663)
## [1] 0.4206646
Ejercicio 33
Las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50cm3) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds inPeriodic Motor Vehicle Inspections” (J. of Automobile Engr.,2008: 1615–1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación. estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea a lo sumo 50 km/h?
Solución
P(Z<50)
pnorm(50, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.9662681
R/ La propabilidad de que la velocidad máxima sea a la sumo 50 km/h es 0.966.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h?
Solución
P(Z>48)
pnorm(48, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.2464466
R/ La probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h es 0.246
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar?
Solución
Z = 46.8 + 1.5 = 48.3
P(Z<48.3)
pnorm(48.3, mean = 46.8, sd = 1.5, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.8413447
R/ La probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar es de 0.841
Ejercicio 35
Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con media 8,8 y desviacion estandar 2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning” (Forest Products J., mayo de 1997; 36–41).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar será por lo menos de 10 pulg? ¿Y que exceda de 10 pulg?
Solución
Sea por lo menos de 10 pulg:
P(x[pic] 10) = p(z[pic]) = p(z[pic]) \| = Φ ([pic]) \| = Φ(0.43)
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.6658824
Exceda de 10 pulg:
P(X ≥ 10) = P(Z ≥ [(10-8.8)/2.8] = P(Z ≥ 0,43)
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.3341176
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 20 pulg?
Solución
P(X > 20) = P(Z>[(20-8.8)/2.8)]) = P(Z> 4)
pnorm(20, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)
## [1] 3.167124e-05
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar esté entre 5 y 10 pulg?
Solución
P(5 ≤ X ≤ 10) = P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) = P(Z ≤ [(5-8.8)/2.8]) = P(-1.36 ≤ Z ≤ 0.43)
d) ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 - c, 8.8 + c) incluya 98 % de todos los valores de diámetro?
Solución
= Z = [(B-μ)/σ] - [(A-μ)/σ] = [(c/2.8] - [(-c)/2.8]
= [(6.524)/2.8] - [-6.524/2.8]
= P(Z) = P(2.33)-P(-2.33) = 0.9901 - 0.0099
= 0.9802
c = 6.524
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE) - pnorm(5, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5785145
d) ¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 – c, 8.8 + c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?
qnorm(.98, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)
## [1] 14.5505
e) Si se seleccionan cuatro árboles al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 1 tenga un diámetro de más de 10 pulg?
sum(dbinom(1:4, size = 4, prob = 0.3341176))
## [1] 0.803397
Ejercicio 37
Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L) tiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo “Matemathical Model of Chloride Concentration in Human Blood”, J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25-30, incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoyando esta suposición).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105? ¿Sea menor que 105? ¿Sea cuando mucho de 105?
Solución
Sea igual a 105: Z = (X -µ)/ σ = (105 – 104)/5 = 0.2 P(Z) = 0.5793 P(z = 105)
(pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)- pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))
## [1] 0
Sea menor que 105:
P (Z < 105)
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5792597
Sea cuando mucho 105:
P (Z ≤ 105)
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.5792597
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro difiera de la media por más de 1 desviación estándar?
Solución
1 - (pnorm(109, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE) - pnorm(99, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))
## [1] 0.3173105
c) ¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de los valores de concentración de cloruro?
Solución
0.1% = 0.0010
Según las tablas:
Z = -3.1
Se usa y despeja:
Z = (X -µ)/ σ
X = (Z * σ) + µ
Z <- -3.1
σ <- 5
µ <- 104
((Z)*σ) + µ
## [1] 88.5
Ejercicio 39
a) Si una distribución normal tiene media de la población: 30 y varianza: 5, ¿cuál es el 91º percentil de la distribución?
Solución
μ + (percentil x de la distribucion)𝓸
μ + (percentil 91 de la distribucion)𝓸
= 30 + (1.34)5
qnorm(0.91, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 36.70378
b) ¿Cuál es el 6 percentil de la distribución?
Solución:
μ + (percentil 6 de la distribucion)𝓸
= 30 + (-1.556)5
qnorm(0.06, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)
## [1] 22.22613
c) El ancho de una línea grabada en un “chip” de circuito integrado normalmente está distribuido con media 3000 micrometros y desviación estándar de 0.140. ¿Qué valor de ancho separa el 10% de las líneas más anchas del 90% restante?
Solución:
μ + (percentil 90 de la distribucion)𝓸
= 3 + (1.278)0.140
qnorm(0.90, mean = 3000, sd = 0.140, lower.tail=TRUE)
## [1] 3000.179
Ejercicio 43
Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia?
Solución
10 % -> 10.256 ohms
5 % -> 9.671 ohms
85 % = ((10.256+9.671)/2) = 9.9635
μ = (9.9635(0.85) + (10.256(0.10)) + (9.671(0.05))) = 10.1
(σx)^2 = E(x^2) - (E(x^2)) = sqrt(0.04) = 0.2
library(matlib)
## Warning: package 'matlib' was built under R version 4.1.1
a<- matrix(c(1,1.28,1,-2.57),2,2,TRUE)
b<- c(10.256,9.671)
showEqn(a,b)
## 1*x1 + 1.28*x2 = 10.256
## 1*x1 - 2.57*x2 = 9.671
solve(a,b)
## [1] 10.0615065 0.1519481
Ejercicio 45
Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de 0.500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de 0.004 pulg de su valor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de 0.499 pulg y desviación estándar de 0.002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable?
Solución
P (0.496 ≤ Z ≤ 0.504)
Z = [(B -µ)/ σ] – [(A -µ)/ σ]
= [(0.504 – 0.499)/0.002] - [(0.496-0.499)/0.002] = 2.5 – (-1.5)
1 - (pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE) - pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE))
## [1] 0.07301687
Ejercicio 47
Solución
Datos de valor medio y desviación estándar ya dados:
Valor medio = 12 lb
Desviación estándar = 3.5 lb
P (X ≤ c-1) = 0.99
P ( Z≤ (c-1-12)/3.5) = P(Z≤(c-13)/3.5) = 0.99
qnorm(0.99, mean = 12, sd = 3.5, lower.tail=TRUE)
## [1] 20.14222
Ejercicio 49
Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intervalos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.]
Solución
Datos de valor medio y desviación estándar ya dados:
Valor medio = 7.576
Desviación estándar = 1.064, .7054
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos? ¿Esté entre 3000 y 4000 gramos?
a<- pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)
print(1-a)
## [1] 0.119314
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)-pnorm(3000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)
## [1] 0.6956306
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos?
Solución
pnorm(2000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)+ pnorm(5000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.002055122
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras?
Solución
1 libra = 454 gramos
pnorm(3178, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.7008931
d) ¿Cómo caracterizaría el 0.1% más extremo de todos los pesosal nacer?
Solución
qnorm(0.9995)
## [1] 3.290527
Para el límite superior.
3432+3.290527*482
## [1] 5018.034
Para el límite inferior.
3432-3.290527*482
## [1] 1845.966
e) Si X es una variable aleatoria con una distribución normal y a es una constante numérica , entonces Y = aX también tiene una distribución normal. Use esto para determinar la distribución de pesos al nacer expresados en libras (forma, media y desviación estándar) y luego calcule otra vez la probabilidad del inciso (c). ¿Cómo se compara ésta con su respuesta previa?
Solución
pnorm(7, mean = 7.5595, sd = 1.0608, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.7010532
Conclusión
Según los resultados presentados, podemos decir que Rstudio es una aplicación que facilita la aplicación de ciertos procedimientos y cálculos estadísticos. Además, aprovechando las características ofrecidas por la aplicación, se han aprendido herramientas básicas que permiten aplicar conocimientos teóricos ya discutidos en clase.
Utilizando conceptos como la probabilidad, valor medio y desviación estandar, fue posible resolver ejercicios relacionados con la distribución de probabilidad binomial y distribución normal.
Lo aquí aprendido, será de utilidad sin importar el uso de R que se tenga previsto, pues son conceptos fundamentales que nos permitirán acceder a otros más complejos y avanzados.