Seccion 3,4

Ejercicio 47

Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:
1. B(4; 15, 0.3)

dbinom(4, size = 15, prob = 0.3)

## [1] 0.2186231

1. b(4; 15, 0.3)

pbinom(4, size=15, prob=0.3)

## [1] 0.5154911

1. b(6; 15, 0.7)

pbinom(6, size=15, prob=0.7)

## [1] 0.01524253

1. P(2 < X < 4) cuando X, Bin(15, 0.3)

sum(dbinom(2:4, size = 15, prob = 0.3))

## [1] 0.4802235

1. P(2 < X ) cuando X, Bin(15, 0.3)

sum(dbinom(2:15, size = 15, prob = 0.3))

## [1] 0.9647324

1. P(x < 1 ) cuando X, Bin(15, 0.7)

sum(dbinom(0:1, size = 15, prob = 0.7))

## [1] 5.165607e-07

1. P(2 < X < 6) X , Bin(15, 0.3)

sum(dbinom(2:6, size = 15, prob = 0.3))

## [1] 0.8335898

Ejercicio 49

P(B)=0,1 ; P(A)=0,9
1. Que tan probable es que 1 copa sea de segunda cuando tengo 6 copas

pbirthday(10,106)

## [1] 0.3545515

1. Que tan probable es que 2 copa sea de segunda cuando tengo 6 copas

pbirthday(2,6)*0.9

## [1] 0.15

1. Que tan probable tenga uno que revisar copa por copa para que almenos 4 de 5 no sean de segunda?

(pbirthday(5,4))*0.9

## [1] 0.9

Ejercicio 51

Se utiliza un número telefónico particular para recibir tanto llamadas de voz como faxes. Suponga que 25% de las llamadas entrantes son faxes y considere una muestra de 25 llamadas
1. ¿Cuál es el número esperado de llamadas entre las 25 que implican un fax?

n<- 25
fx<-1/4
nfx<- n*fx
nfx

## [1] 6.25

1. ¿Cuál es la desviación estándar del número entre las 25 llamadas que implican un fax?

a<-0
a= sqrt(0.25*25*0.75)
a

## [1] 2.165064

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de llamadas entre las 25 que implican una transmisión de fax sobrepase el número esperado por más de 2 desviaciones estándar?" "6.25+2=8.25 impar más cercano =9 *25-9= 14

## [1] 14

## [1] 0.03

Ejercicio 53

El ejercicio 30 (sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de Y, el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía particular. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar
1. por lo menos 10 no tengan infracciones?

sum(dbinom(10:15, size = 15, prob = 0.6))

## [1] 0.4032156

1. menos de la mitad tengan por lo menos una infracción?

pbinom(7, size=15, prob=0.4)

## [1] 0.7868968

1. el número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10, inclusive?

sum(dbinom(5:10, size = 15, prob = 0.6))

## [1] 0.7733746

Ejercicio 55

Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía.De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras el 40% restante deben ser reemplazados con unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía?

dbinom(2, size = 10, prob = (0.2*0.4))

## [1] 0.147807

Ejercicio 57

Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las dos baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada?

sum(dbinom(9:20, size = 10, prob = 0.9*0.9))

## [1] 0.4067565

una batería es independiente de la otra por lo que para que una linterna funcione P(A|B)= 0.9*0.9

Ejercicio 59

Un reglamento que requiere que se instale un detector de humo en todas las casas previamente construidas ha estado en vigor en una ciudad particular durante 1 año. Al departamento de bomberos le preocupa que muchas casas permanezcan sin detectores. Sea p ! la proporción verdadera de las casas que tienen detectores y suponga que se inspecciona una muestra aleatoria de 25 casas. Si ésta indica marcadamente que menos de 80% de todas las casas tienen un detector, el departamento de bomberos lanzará una campaña para la puesta en ejecución de un programa de inspección obligatorio. Debido a lo caro delprograma, el departamento prefiere no requerir tales inspecciones a menos que una evidencia muestral indique que se requieren. Sea X el número de casas con detectores entre las 25 muestreadas. Considere rechazar el requerimiento de que si p>= 0.8 si x<= 15
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el requerimiento sea rechazado cuando el valor real de p es .8?

pbinom(15, size=25, prob=0.8)

## [1] 0.01733187

1. ¿Cuál es la probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p ! .7? ¿Cuando p ! .6?

1-sum(dbinom(15:1, size = 25, prob = 0.7))

## [1] 0.810564

1-sum(dbinom(15:1, size = 25, prob = 0.6))

## [1] 0.424617

1. ¿Cómo cambian las “probabilidades de error” de los incisos (a) y (b) si el valor 15 en la regla de decisión es reemplazado por 14?

pbinom(14, size=25, prob=0.8)

## [1] 0.00555492

1-sum(dbinom(14:1, size = 25, prob = 0.7))

## [1] 0.9022

1-sum(dbinom(14:1, size = 25, prob = 0.6))

## [1] 0.585775

Ejercicio 61

1. Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiblioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado. Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de .9 y los libros llegan independientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabilidad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es de sólo .5 en lugar de .9?
P(A)=2; P(B)=4
- Para A:

sum(dbinom(2:1, size = 2, prob = 0.9))

## [1] 0.99

Para B:

sum(dbinom(4:2, size = 4, prob = 0.9))

## [1] 0.9963

Si P=0.5 entonces
- Para A:

sum(dbinom(2:1, size = 2, prob = 0.5))

## [1] 0.75

Para B:

sum(dbinom(4:2, size = 4, prob = 0.5))

## [1] 0.6875

Ejercicio 65

Los clientes en una gasolinera pagan con tarjeta de crédito (A), tarjeta de débito (B) o efectivo (C). Suponga que clientes sucesivos toman decisiones independientes con P(A)=0.5;P(B)=0.2;P(C)=0.3
- 1. Entre los siguientes 100 clientes, ¿cuáles son la media y la varianza del número que paga con tarjeta de débito? Explique su razonamiento." "Pensamos que lo mas probable seria que entre los 100 personas seria, 50 pagan con la tarjeta de credito, 20 pagan con la tarjeta de débito Y 30 pagan con efectivo. La media de las personas que pagan con tarjeta de credito seria 20 y su varianza sería 20-50=-30²⁼⁶⁰(½)=7,74
- 1. Conteste el inciso (a) para el número entre los 100 que no pagan con efectivo. La media de las personas que no pagan en efectivo sería el 70 y su varianza sería 70-50=20=20²⁼⁴⁰(½)=6,30

Ejercicio 67

Remítase a la desigualdad de Chebyshev dada en el ejercicio 44. Calcule con k ! 2 y k ! 3 cuando y compare con el límite superior correspon- diente. Repita para . X , Bin(20, .75)
X Bin(20,0.5)

20*5

## [1] 100

sqrt(20*0.5*(1-0.5))

## [1] 2.236068

Para K=2

1-pbinom(14.47616, size=20, prob=0.5)+pbinom(5.52384, size=20, prob=0.5)

## [1] 0.04138947

Para K=3

1-pbinom(16.708204, size=20, prob=0.5)+pbinom(3.291796, size=20, prob=0.5)

## [1] 0.002576828

X Bin(20,0.75)

20*0.75

## [1] 15

sqrt(20*0.75*(1-0.75))

## [1] 1.936492

Para K=2

1-pbinom(18.872984, size=20, prob=0.75)+pbinom(11.127016, size=20, prob=0.75)

## [1] 0.06523779

Para K=3

1-pbinom(20.809476, size=20, prob=0.75)+pbinom(9.190524, size=20, prob=0.75)

## [1] 0.003942142

Sección 4.3

Ejercicio 29

En cada caso, determine el valor de la constante c que hace que el enunciado de probabilidad sea correcto.

φ(c) = 0.9838

pnorm(2.14, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.9838226

P(0 ≤ Z ≤ c) = 0.291

pnorm(0.81, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE) - pnorm(0, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.2910299

P(c ≤ Z) = 0.121

pnorm(-1.17, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.1210005

P(-c ≤ Z ≤ c) = 0.668

pnorm(0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE) - pnorm(-0.97, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.6679535

P(c ≤ |Z|) = 0.16

pnorm(0.205, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE) - pnorm(-0.205, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.1624279

Ejercicio 33

“Las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50 cm3 ) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds in Periodic Motor Vehicle Inspections” (J. of Automobile Engr.,2008: 1615–1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds." a. ¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea a lo sumo 50 km/h? Media:46,8 σ: 1,75 n=50

pnorm(50, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.9662681

¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h?" n=48

pnorm(48, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.2464466

¿Cuál es la probabilidad de que la velocidad máxima difiera del valor medio por más de 1.5 desviaciones estándar?" vmax>1.5σ

σ <- 1.75
D <- 1.5*σ
D

## [1] 2.625

1- (pnorm(46.8+D, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE) + pnorm(46.8-D, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=TRUE))

## [1] 0.8663856

Ejercicio 35

“Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con y 2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester- Forwarder Softwood Thinning” (Forest Products J., mayo de 1997; 36–41) .“a. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar será por lo menos de 10 pulg? ¿Y que exceda de 10 pulg?” arbol>10 pulgadas arbol<10 pulgadas σ=2.8 media=8.8

pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.3341176

pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.6658824

¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de más de 20 pulg? arbol>20 pulgadas

pnorm(20, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.9999683

¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar sea de entre 5 y 10 pulg? 5>arbol>10

pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE) - pnorm(5, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.5785145

¿Qué valor c es tal que el intervalo (8.8 – c, 8.8 # c) incluya 98% de todos los valores de diámetro?

qnorm(0.98, mean = 8.8, sd = 2,8, lower.tail=TRUE)

## Warning in qnorm(0.98, mean = 8.8, sd = 2, 8, lower.tail = TRUE): NaNs produced

## [1] NaN

Si se seleccionan cuatro árboles al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno tenga un diámetro de más de10 pulg?

x <- pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE)
sum(dbinom(1:4, size = 4, prob = x))

## [1] 0.803397

Ejercicio 37

Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L)btiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo “Mathematical Model of Chloride Concentration in Human Blood”, J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25–30, incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoya esta suposición) a. ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro sea igual a 105? ¿Sea menor que 105? ¿Sea cuando mucho de 105? * El área bajo la curva sería igual a 0 concentración de cloro=105 concentracion de cloro<105 concentracion de cloro 104,9

pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.5792597

pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.5792597

pnorm(105, mean = 104.9, sd = 5, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.5079783

¿Cuál es la probabilidad de que la concentración de cloruro difiera de la media por más de 1 desviación estándar? “Se debe ser restar y sumar el valor de variación estándar σ=5”

1 - (pnorm(109, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE) - pnorm(99, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE))

## [1] 0.3173105

¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de los valores de concentración de cloruro?" valor min= 0,01

qnorm(0.01, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)

## [1] 92.36826

Ejercicio 39

Si una distribución normal tiene media de la población: 30 y varianza: 5, ¿cuál es el 91º percentil de la distribución? media: 30 var:5 91 percentil

qnorm(0.91, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)

## [1] 36.70378

¿Cuál es el 6 percentil de la distribución? percentil 6= 0,06

qnorm(0.06, mean = 30, sd = 5, lower.tail=TRUE)

## [1] 22.22613

El ancho de una línea grabada en un “chip” de circuito integrado normalmente está distribuido con media 3000 micrómetros y desviación estándar de 0.140. ¿Qué valor de ancho separa el 10% de las líneas más anchas del 90% restante? media= 3000 micro σ=0,140 10%<x<90% Buscar el punto de 0,9 para entender el ancho del 0,9

qnorm(0.90, mean = 3.000, sd = 0.140, lower.tail=TRUE)

## [1] 3.179417

Ejercicio 41

El dispositivo de apertura automática de un paracaídas de carga militar se diseñó para que lo abriera a 200 m sobre el suelo. Suponga que la altitud de abertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200 m y desviación estándar de 30 m. La carga útil se dañará si el paracaídas se abre a una altitud de menos de 100 m. ¿Cuál es la probabilidad de que se dañe la carga útil de cuando menos uno de cinco paracaídas lanzados en forma independiente? 200m= se abre el paracaidas Distribución normal= 200m σ= 30 m carga util <100 1 de cada 5 = Prob(A) de dañarse

Z <- (100-200)/30
X <- pnorm(Z, mean = 0, sd = 1, lower.tail=TRUE)
dbinom(1, size = 5, prob = X)

## [1] 0.002141622

Ejercicio 43

Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de una resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia? 10 % -> 10.256 ohms 5 % -> 9.671 ohms σ=? medio=?

library(matlib)

## Warning: package 'matlib' was built under R version 4.1.1

a<- matrix(c(1,1.28,1,-2.57),2,2,TRUE)
b<- c(10.256,9.671)
showEqn(a,b)

## 1*x1 + 1.28*x2  =  10.256 
## 1*x1 - 2.57*x2  =   9.671

solve(a,b)

## [1] 10.0615065  0.1519481

Ejercicio 45

Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de .500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de .004 pulg de su valor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de .499 pulg y desviación estándar de .002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable? ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable?

Diametro promedio= 0,5 pulgadas cojinete diametro= 0.004 valor objetivo 0,499 pulgadas= distrubución media σ= 0,002 pulgadas

pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE) - pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.9269831

Porcentaje de cojinetes que no será aceptable

1 - (pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE) - pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE))

## [1] 0.07301687

Ejercicio 47

La distribución de peso de paquetes enviados de cierta manera es normal con valor medio de 12 lb y desviación estándar de 3.5 lb. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c más allá del cual habrá un cargo extra. ¿Qué valor de c es tal que 99% de todos los paquetes estén por lo menos 1 lb por debajo del peso de cargo extra?

c=0.99
Xmed= 12
σ=3.5
qnorm(0.99, mean = 12, sd = 3.5, lower.tail=TRUE)

## [1] 20.14222

Ejercicio 49

Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37–43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribuido con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999): 298–302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de inter-valos de clase, un histograma no parecía del todo normal pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales medían el peso en gramos, en otros lo medían a la onza más cercana y luego lo convertían en gra-mos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 4000 gramos? ¿Esté entre 3000 y 4000 gramos? Rango(37-43) Peso medio= 3,432 gramos σ= 482 gramos

pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.119314

pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE) - pnorm(3000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)

## [1] 0.6956306

¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo sea de menos de 2000 gramos o de más de 5000 gramos? Nacimiento de bebé (x<2000) Nacimiento de bebé(x>5000)

pnorm(2000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)+pnorm(5000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.002055122

¿Cuál es la probabilidad de que el peso al nacer de un bebé seleccionado al azar de este tipo exceda de 7 libras? 7 libras = 3175.15 gramos P(x>3175)

pnorm(3175.15, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.702943

¿Cómo caracterizaría el .1% más extremo de todos los pesos al nacer? Percentil 1= 0,01

qnorm(0.01, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE)

## [1] 2310.7

. Si X es una variable aleatoria con una distribución normal y a es una constante numérica (a ≠ 0) , entonces Y = aX también tiene una distribución normal. Use esto para determinar la distribución de pesos al nacer expresados en libras (forma, media y desviación estándar) y luego calcule otra vez la probabilidad del inciso (c). ¿Cómo se compara ésta con su respuesta previa? 482 g = 1.06 lb 3432 g = 7.55lb

pnorm(7, mean = 7.55, sd =1.06, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.6980736

INFORME 2

Andres Garcia, Stefanny Salazar, Jhonatan Madrid, Angel Pacheco

Seccion 3,4

Ejercicio 47

Ejercicio 49

Ejercicio 51

Ejercicio 53

Ejercicio 55

Ejercicio 57

Ejercicio 59

Ejercicio 61

Ejercicio 65

Ejercicio 67

Sección 4.3

Ejercicio 29

Ejercicio 33

Ejercicio 35

Ejercicio 37

Ejercicio 39

Ejercicio 41

Ejercicio 43

Ejercicio 45

Ejercicio 47

Ejercicio 49