Introducción a la probabilidad

Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman

  1. Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funicones de probabilidad.
  2. Interpretacion frecuentista de la probabilidad.
  3. Probabilidad condicional y su relacion con la independencia.

Espacio de resultados y eventos.

El espacio de resultado \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio. ej. si lanzamos una moneda dos veces entonces: \[\Omega = \{AA, AS, SA, SS \}\] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayuscualas. ej. Que el primer lanzamineto resulte aguila.

\[ A=\{AA, AS\} \] ## Eventos equiprobables.

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

ej. En la carrera de ing. Quimica hay 300 estudiantes hombres y 700 mujeres, la proporción de hombres es:

\[ \frac{300}{700+300}=0.3 \]

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos, entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados en A dividido entre el numero total de prosibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

ej. Combinanciones

Un comité de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. si la selección es aleatoria, ¿Cual es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, c ada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado. Por otra parte \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] Y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una propoción que mide que tan seguido, o frecnuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"),10, replace= TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"

Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de aguila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") #suma acumulada de aguilas.
##  [1] 1 2 3 4 5 5 5 5 6 7

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A")/ 1:10,2)
##  [1] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.83 0.71 0.62 0.67 0.70

Distribuciones de probabilidad