Introducción a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la insertidumbre. - Wasserman

Conceptos fundamentales de probabilidad

  1. Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.

  2. Interpretación frecuencista de la probabilidad.

  3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

  4. Regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados Ω es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: si lanzamos una moneda dos veces, entonces

Ω={AA,AS,SA,SS}

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila. A={AA,AS}

Evento equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporción o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres

Si elegimos un estudiante de ingeniería quimica. ¿Cual es la probabilidad de que sea hombre? 300700+300=0.3

La probabilidad es entonces de 0.3

Eventos equiprobables: Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

Esto se consibe de la siguiente forma

P(A)=#(A)#(Ω)

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por 3 hombres y dos mujeres?

Hay (155) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay (63)(92) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: (63)(92)(155) y la funcion para calcular las combinaciones es choose(n,r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Las probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de recuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a 0.

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones

Supongamos que lanzamos la moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente.

l10 <- sample(c("S", "A"),10, replace=TRUE)
l10
##  [1] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S"

calcularemos la secuencia de frecuencias relativas de sello

cumsum(l10== "S")
##  [1] 0 0 0 0 0 1 2 3 3 4

Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de Aguila.

cumsum(l10=="A") 
##  [1] 1 2 3 4 5 5 5 5 6 6

Frecuencias relativa

round(cumsum(l10=="A")/1:10,2)
##  [1] 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.83 0.71 0.62 0.67 0.60