Introduccion a la probabilidad
La probabilidad es el lenguaje matematico cuantificar la intercudumbre - Wasserman.
Conceptos fundamentales de probabilidad.
Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad.
Interpretacion frecuentista de la probabilidad.
Probabilidad condicional y su relacion con independencia.
La regla de Bayes.
Espacio de Resultados y eventos.
El espacio de resultados Ω es el conjunto de posibles resultados de un experimentos aleatorio
Ejemplo: si lanzamos una moneda 2 veces, entonces.
\[ \Omega= \{AA, SS, AS, SA\} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por letras mayúsculas.
El evento: que el primer lanzamiento resulte águila es:
\[ A= \{AA,AS\} \]
Eventos equiprobables.
La probabilidad se puede ver como una proporcion de una parte con respecto a un todo.
Si en ingenieria quimica tenemos 1000 estudiantes, de los cuales
- 300 son hombres.
- 700 son mujeres.
Si elegimos un Estudiante al azar de ingenieria de quimica Cual es la probabilidad de que sea hombre?.
\[ \frac{300}{700 + 300} = 0.3 \] La probabilidad entonces es de 0.3
Eventos equiprobables Si todos los elementos del espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces A es el numero de resultados en A dividido entre el numero posible de resultados:
\[ P(A)= \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]
Esto se concibe de la siguiente manera:
\[ Probabilidad=Eventos favorables / EventosPosibles \]
E.g Combinaciones
Un comité de 5 personas sera eleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. si la seleccion es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comites posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
por otra parte hay \(\dbinom{6}{3}\) \(\dbinom{9}{2}\) posibles comites que incluyen 3 hombres y dos mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{3}}{\dbinom{15}{5}} \]
y la función para calcular las combinaciones es: choose (n, r) n = el numero total de cosas r = la manera en la que se van a tomar esas cosas. En este caso n = 6 hombres totales y r = 3 hombres elegidos
choose(6, 3) * choose(9,2) / choose(15,5)## [1] 0.2397602Interpretacion frecuentista de la probabilidad
Las probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero.
Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:
set.seed(123)
lanzamientos <- sample(c("A","S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos## [1] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"- Calcular secuencia de frencuencias realativas de Aguila A
cumsum(lanzamientos=="A") # Suma acumulada de Aguila## [1] 1 2 3 3 4 4 4 4 5 6- Frecuencia Relativa
round( cumsum( lanzamientos == "A" ) / 1:10, 2 )## [1] 1.00 1.00 1.00 0.75 0.80 0.67 0.57 0.50 0.56 0.60Conclusion La probabilidad nos ayuda a expresars los eventos ante acontecimiento aleatorios, para así mediante porcentajes de resultados ya obtenidos calcular o predecir el proximon resultado de cierto acontecimiento.