Introducción a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar la incertidumbre - Wasserman.

Conceptos fundamentales de probabilidad

1.- Terminología de probabilidad: Espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad.

2.- Intepretación frecuentista de la probabilidad.

3.- Probabilidad condicional y su relación con independencia.

4.- La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda 2 veces, entonces

\[ ER = {AA, SS, AS, SA} \]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una proporción de una parte con respecto a un todo

Si en ingeniería química tenemos 1000 estudiantes de los cuales

  • 300 son hombres
  • 700 son mujeres

Si elegimos un estudiante al azar de ingeniería química

Cual es la probabilidad de que sea hombre?

\[ P = 300/700+300 = 0.3 \]

Esto se consigue de la sigiuente forma:

\[ Probabilidad = Eventos favorables/ Eventos posibles \]

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Las probabilidades se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:

lanzamientos_10 <- sample(c("A","S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
  • Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de Aguila
cumsum(lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada de Aguila
##  [1] 1 1 2 3 4 4 4 5 5 5
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A")/1:10,2)
##  [1] 1.00 0.50 0.67 0.75 0.80 0.67 0.57 0.62 0.56 0.50

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de qu el comité esté confirmado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

Y la función para calcular las combinaciones es choose(n, r)

choose(6,3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
## [1] 0.2397602