Introduccion a la probabilidad
Probabilidad Es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman
1.Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad etc.
2.Interpretacion frecuentista de la probabilidad.
3.Probabilidad condicional y su relacion con la independencia.
Espacio de resultados y eventos
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.
e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:
\[ \begin{equation}\label{eq:Omega} \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \end{equation} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas.
e.g. Que el primer lanzamiento resulte aguila.
\[ \begin{equation}\label{eq:A} A=\{AA,AS\} \end{equation} \]
Eventos equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a un todo.
e.g. En la carrera de Ing. Quimica hay 300 Hombres y 700 Mujeres, la proporcion de hombre es:
\[ \begin{equation}\label{eq:frac} \frac{300} {700+300} = 0.3 \end{equation} \] Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados en A dividido entre el numero total de posibles resultados:
\[ \begin{equation}\label{eq:P} P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \end{equation} \] Por lo que solo hace falta contar. e.g. Combinaciones
Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la seleccion es aleatoria, ¿Cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comite, cada uno tiene la misma posibilidad de ser selccionado.
Po otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comite que oncluye 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] Y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)
choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)## [1] 0.2397602Interpretacion frecuentista de la probabilidad
Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.
lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace = TRUE )
lanzamientos_10## [1] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S"- Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de aguila:
cumsum(lanzamientos_10 == "A") # Suma acumulada de aguila## [1] 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5- Dividiendo
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)## [1] 0.00 0.50 0.67 0.50 0.60 0.50 0.57 0.50 0.56 0.50Distribuciones de probabilidad
Funciones en R
En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones más importantes son:
- Distribución Alias
- Distribución binomial binom
- Distribución de Poisson pois
- Distribución normal norm
- Distribución exponencial exp
- Distribución t de Student t
- Distribución Chi2 chisq
- Distribución F f
\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso} & \text{Observación}\\ \hline p & \text{probability} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula probalilidades puntuales} & \text{Sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ d & \text{density} & \text{Calcula las probabilidades puntuales} & \text{Sólo uso gr'afico en el caso continuo} \\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end{array} \]
Distribución Exponencial
curve(dexp(x), from=0, to=10)
- Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10
Distribución binomial
x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x## [1] 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0- Genera 20 observaciones con distribución B(1,0.5)
Contando éxitos vs fracasos
table(x)## x
## 0 1
## 12 8e.g. Distribucion normal
Si \(X\) es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3 y du desviacion tipica es de 0.5, la probabilidad de que x sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:
pnorm(3.5, mean=3, sd=0.5)## [1] 0.8413447- Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estándar Z, es decir, un valor X tal que
qnorm(0.7)## [1] 0.5244005- El valor zα que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:
qnorm(0.975)## [1] 1.959964- Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x):
x <- rnorm(100, mean=10, sd=1 )
x## [1] 11.714460 11.090310 8.703716 8.708843 9.300642 7.683618 10.235555
## [8] 10.305566 9.417827 10.348959 10.236938 10.466657 10.236489 10.257957
## [15] 9.911496 8.768299 10.194797 10.029261 10.392652 7.124920 10.544611
## [22] 10.425198 10.705512 10.435510 10.813387 9.308585 9.420360 8.942007
## [29] 9.838223 10.491319 11.760489 8.138473 8.018663 10.240192 10.040198
## [36] 9.644537 9.544242 11.203895 9.598671 7.777959 12.005706 8.298977
## [43] 9.341203 10.063838 9.252600 9.937222 9.710575 10.394227 10.092567
## [50] 10.271977 9.889074 9.267187 9.195185 8.672740 10.865870 9.451592
## [57] 9.658547 10.962234 11.046125 9.725326 9.660124 8.627116 9.286681
## [64] 9.587568 8.990055 9.594355 9.315535 9.364228 9.026192 11.238870
## [71] 9.596594 10.921506 9.044019 9.439068 11.381552 9.850770 11.795180
## [78] 10.883628 10.677448 10.743367 11.192324 10.962000 8.994931 10.382016
## [85] 11.473113 10.193189 9.678811 8.572057 9.735969 9.885880 8.785637
## [92] 10.425800 9.869157 10.794435 9.874651 8.524251 10.127483 9.927526
## [99] 12.574878 9.740722- Para estimar el promedio de x
mean(x)## [1] 9.908625- Histograma de frecuencias
hist(x)
- Gráfico de cajas y bigote
boxplot(x)
- Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:
hist(x, freq=FALSE) # Freq=FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean=10, sd=1), from=7, to=13, add=TRUE)