Introduccion a la probabilidad

Probabilidad Es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman

1.Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad etc.

2.Interpretacion frecuentista de la probabilidad.

3.Probabilidad condicional y su relacion con la independencia.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados de un experimento aleatorio.

e.g. Si lanzamos una moneda dos veces entonces:

\[ \begin{equation}\label{eq:Omega} \Omega = \{AA, AS, SA, SS \} \end{equation} \] Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte aguila.

\[ \begin{equation}\label{eq:A} A=\{AA,AS\} \end{equation} \]

Eventos equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Quimica hay 300 Hombres y 700 Mujeres, la proporcion de hombre es:

\[ \begin{equation}\label{eq:frac} \frac{300} {700+300} = 0.3 \end{equation} \] Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el numero de resultados en A dividido entre el numero total de posibles resultados:

\[ \begin{equation}\label{eq:P} P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \end{equation} \] Por lo que solo hace falta contar. e.g. Combinaciones

Un comite de 5 personas sera seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la seleccion es aleatoria, ¿Cual es la probabilidad de que el comite este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comite, cada uno tiene la misma posibilidad de ser selccionado.

Po otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comite que oncluye 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:

\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] Y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)
## [1] 0.2397602

Interpretacion frecuentista de la probabilidad

Una frecuencia relativa es una proporcion que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"),10, replace =  TRUE )
lanzamientos_10
##  [1] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S"

Podemos calcular las secuencias de frecuencias relativas de aguila:

cumsum(lanzamientos_10 == "A") # Suma acumulada de aguila
##  [1] 1 1 1 1 2 3 4 4 4 4

Dividiendo

round(cumsum(lanzamientos_10 == "A") / 1:10, 2)
##  [1] 1.00 0.50 0.33 0.25 0.40 0.50 0.57 0.50 0.44 0.40