Introducción a la probabilidad
Probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la incertidumbre. Wasserman
- Terminologia de probablidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, Etc.
- Interpretacion frecuencista de la probabilidad.
- Probabilidad condicional y su relacion con la independencia
Espacio de resultados y eventos
El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de resultados d eun experimento aleatorio.
e.g. Si lanzamos una modeda dos veces entonces:
\[ \Omega = \{AA,AS,SA,SS\} \]
Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayusculas.
e.g. Que el primer lanzamiento resulte aguila.
\[ A=\{AA,AS\} \]
Eventos equiprobables
La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporcion, o cociente de una parte con respecto a un todo.
e.g. En la carrera de Ing. Quimica hay 300 estudiantes hombres y 700 Mujeres, la proporcion de hombres es:
\[ \frac{300}{700+300} = 0.3\] Eventos equiprobables Si todos los elementos del espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces A es el numero de resultados en A dividido entre el numero posible de resultados:
\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que hace falta.
Ejemplo. Combinaciones.
Un comité de 5 personas sera eleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. si la seleccion es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité este conformado por 3 hombres y 2 mujeres?
Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comites, cada uno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado.
Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es:
\[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]
y la funcion para calcular las combinaciones es choose (n, r)
choose(6, 3) * choose(9, 2) / choose(15, 5)## [1] 0.2397602Interpretación frecuentista de la probabilidad
Una frecuencia relativa es una proporcion qur mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesion de observaciones.
lanzamiento_10 <- sample(c("A","S"),10, replace = TRUE)
lanzamiento_10## [1] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S"Podemos calcula la secuencia de frecuencias relativas de aguilas:
cumsum(lanzamiento_10 == "A") # Suma acumulada de aguilas## [1] 1 1 1 2 3 4 4 4 4 4Dividiendo
round(cumsum(lanzamiento_10 == "A")/ 1:10, 2)## [1] 1.00 0.50 0.33 0.50 0.60 0.67 0.57 0.50 0.44 0.40