El presente trabajo consiste en realizar los ejercicios de las secciones 3.4 y 4.3 del libro Probabilidad y Estadistica para Ingeniería y Ciencia Ed. 8 - Jay L. Devore. Dichos ejercicios han sido realizados en RStudio como proyecto de clases para la materia de Análisis Estadístico, correspondiente al segundo corte.
En el presente documento se encontrará la siguiente notación:
Pregunta
Pregunta
R// Respuesta
Además, en color gris estarán los códigos ingresados y en color verde los resultados de dicho código.
Use la tabla A.1 del apéndice para obtener las siguientes probabilidades:
R// N=15 P=0.3 X=4
La probabilidad es de:
pbinom(4, size = 15, prob = 0.3)## [1] 0.5154911R// N=15 P=0.3 X=4
La probabilidad es de:
dbinom(4, size = 15, prob = 0.3)## [1] 0.2186231R// N=15 P=0.7 X=6
La probabilidad es de:
dbinom(6, size = 15, prob = 0.7)## [1] 0.01159R// N=15 P=0.3 X>=2 y X<=4
P(2 ≤ x ≤ 4) = P(x = 2, 3 o 4) = P(x ≤ 4) – P(x ≤ 1) P(4;15,0.3) – P(1;15,0.3) La probabilidad es de:
pbinom(4, size = 15, prob = 0.3) - pbinom(1, size = 15, prob = 0.3)## [1] 0.4802235R// N=15 P=0.3 X>=2
P(2 ≤ X) = 1 – P(X ≥ 1) = 1 – P(1;15,0.3) La probabilidad es de:
1 - pbinom(1, size = 15, prob = 0.3)## [1] 0.9647324R// N=15 P=0.7 X<=1
P(X ≤ 1) = ∑ b(y;15,0.7) = B (1;15,0.7) La probabilidad es de:
pbinom(1, size = 15, prob = 0.7)## [1] 5.165607e-07R// N=15 P=0.3 X>2 y X<6
P(2 < X < 6) = P(x = 2, 3, 4 o 5) = P(x ≤ 5) – P(x ≤ 2) La probabilidad es de:
pbinom(5, size = 15, prob = 0.3) - pbinom(2, size = 15, prob = 0.3)## [1] 0.5947937Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas de mesa tienen imperfecciones cosméticas y deben ser clasificadas como “segundas”.
R// E=0.1 X=1 N=6
la probabilidad que solo una de las copas sea segunda corresponde al:
dbinom(1, size = 6, prob = 0.1) ## [1] 0.354294R// E=0.1 X=0 N=4
la probabilidad que dos de las copas sean segundas corresponde al:
1-sum(dbinom(0:1, size = 6, prob = 0.1))## [1] 0.114265E=0.1 X=1 y X=0 N=4
Para r1:
dbinom(0, size=4, prob=0.1)## [1] 0.6561Para r2:
dbinom(1, size=4, prob=0.1) * 0.9## [1] 0.26244Para r=r1+r2:
dbinom(0, size=4, prob=0.1) + dbinom(1, size=4, prob=0.1) * 0.9## [1] 0.91854R// La probabilidad de que cuatro copas no sean de segunda de 5 copas seleccionadas corresponde al 91.8%
Se utiliza un número telefónico particular para recibir tanto llamadas de voz como faxes. Suponga que 25% de las llamadas entrantes son faxes y considere una muestra de 25 llamadas entrantes. ¿Cuál es la probabilidad de que…
R// N=25 P=0.25 X=6
La probabilidad de que cuando mucho 6 de las llamdas sean un fax es de:
pbinom(6, size=25, prob=0.25)## [1] 0.5610981R// N=25 P=0.25 X=6
La probabilidad de que exactamente 6 de las llamdas sean un fax es de:
dbinom(6, size=25, prob=0.25)## [1] 0.1828195R// N=25 P=0.25 X=6
La probabilidad de que por lo menos 6 de las llamdas sean un fax es de:
1-pbinom(5, size=25, prob=0.25)## [1] 0.6217215R// N=25 P=0.25 X=6
La probabilidad es de:
1-pbinom(6, size=25, prob=0.25)## [1] 0.4389019R// El número esperado de llamdas entre las 25 que implican un fax es de:
E <- 25*0.25
E## [1] 6.25R// La desviación estándar del número entre las 25 llamdas que implican fax es de:
σ <- sqrt(25*0.25*0.75)
σ## [1] 2.165064R// La probabilidad corresponde a: =1 - P(|X-u|) ≤ 2σ) =1 - P(X ≤ u + 2σ) =1 - P(X ≤ 6.25 + 2(2.1651)) =1 - P(X ≤ 10,5802)
N=25 P=0.25 X=10.6
1-pbinom(10.6, size=25, prob=0.25)## [1] 0.02966991El ejercicio 30 (Sección 3.3) dio la función de masa de probabilidad de \[Y\], el número de infracciones de tránsito de un individuo seleccionado al azar asegurado por una compañía partiruclar. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 individuos seleccionados al azar…
R// a. N=15 P=0.40 X=9
La probabilidad de que por lo menos 10 no tengan infracciones es de:
1-pbinom(9, size=15, prob=0.40)## [1] 0.0338333R// N=15 P=0.40 X=10 y X=4
La probabilidad de que menos de la mitad tengan por lo menos una infracción es de:
pbinom(7, size=15, prob=0.40)## [1] 0.7868968R//
N=15 P=0.40 X=10 La probabilidad de que el número que tengan por lo menos una infracción esté entre 5 y 10 es de:
pbinom(10, size=15, prob=0.40) - pbinom(4, size=15, prob=0.40)## [1] 0.7733746Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo son llevados a servicio mientras se encuentran dentro de la garantía. De éstos, 60% pueden ser reparados, mientras que el 40% restante deben ser reemplazados on unidades nuevas. Si una compañía adquiere diez de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean reemplazados en la vigencia de su garantía? R// N=10 P=0.08 X=2
La probabilidad de que exactamente 2 de los teléfonos adquiridos por la compañía sean reemplazados es de:
dbinom(2, size=10, prob=0.08)## [1] 0.147807Suponga que 90% de todas las baterías de cierto proveedor tienen voltajes aceptables. Un tipo de linterna requiere que las baterías sean tipo D y funcionará sólo si sus dos baterías tienen voltajes aceptables. Entre diez linternas seleccionadas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán? ¿Qué suposiciones hizo para responder la pregunta planteada? R1// N=10 P=0.81 X=9 y X=10
La probabilidad de que por lo menos nueve funcionarán es de:
dbinom(9, size=10, prob=0.81) + dbinom(10, size=10, prob=0.81)## [1] 0.4067565R2// Se supuso la independencia de las baterías
R// La probabilidad de que el querimiento sea rechazado cuando el valor real de p es - P(rechazo requerimiento)= 0.8
pbinom(15, size = 25, prob = 0.8)## [1] 0.01733187cuando p ! .7? ¿Cuando p ! .6? R// La probabilidad de no rechazar el requerimiento cuando p=0.7 es
1-pbinom(15, size = 25, prob = 0.7)## [1] 0.8105641-pbinom(15, size = 25, prob = 0.6)## [1] 0.424617Ahora si x ≤ 14
Con p=0.8
pbinom(14, size = 25, prob = 0.8)## [1] 0.00555492la probabilidad de error del inciso A con x ≤ 14 es menor.
Con p=0.7
1-pbinom(14, size = 25, prob = 0.7)## [1] 0.9022la probabilidad de error del inciso B con x ≤ 14 es mayor
Con p=0.6
1-pbinom(14, size = 25, prob = 0.6)## [1] 0.585775la probabilidad de error del inciso c con x ≤ 14 es mayor
Un estudiante que está tratando de escribir un ensayo para un curso tiene la opción de dos temas, A y B. Si selecciona el tema A, el estudiante pedirá dos libros mediante préstamo interbiclioteca, mientras que si selecciona el tema B, el estudiante pedirá cuatro libros. El estudiante cree que un buen ensayo necesita recibir y utilizar por lo menos la mitad de los libros pedidos para uno u otro tema seleccionado.Si la probabilidad de que un libro pedido mediante préstamo interbiblioteca llegue a tiempo es de 0.9 y los libros llegan indepedientemente uno de otro, ¿qué tema deberá seleccionar el estudiante para incrementar al máximo la probabiliad de escribir un buen ensayo? ¿Qué pasa si la probabilidad de que lleguen los libros es sólo de 0.5 en lugar de 0.9? R// N=2 P=0.9 X=1
Si escoge el tema A, cuando n=2, entonces, = P(X ³ 1) = 1 – P(X = 0)
1-dbinom(0, size=2, prob=0.9)## [1] 0.99Es la probabilidad que tiene para escribir un buen ensayo con el tema A con base en sus criterios.
Si escoge el tema B, cuando n=4, entonces,
1-dbinom(1, size=4, prob=0.9)## [1] 0.9964Es la probabilidad que tiene para escribir un buen ensayo con el tema B con base en sus criterios.
Si la probabilidad fuera de 0.5, las probabilidad para ambos temas serían:
1-dbinom(0, size=2, prob=0.5)## [1] 0.75Para el tema A y
1-pbinom(1, size=4, prob=0.5)## [1] 0.6875Para el tema B
Remítase a la desigualdad de Chebyshev dada en el ejercicio 44, Calcule P(|X-u|) ≥ kσ) con k=2 y k=3 cuando X ∼ Bin(20, 0.5) y compare con el límire superior correspondiente. R// La probabilidad corresponde a X ~ Bin(20, .05), entonces,
N=20 P=0.5 K=2 y K=3 u<- 10 s<- 2.236
2*s## [1] 4.3301273*s## [1] 6.495191Son los valores de 2s y 3s correspondientes. Ahora, P(X ≤ 5 o X ≥ 15) P(X≤5) = Pa
Pa <- 0.021
2*Pa## [1] 0.042las mopeds (motos pequeñas con una cilindrada inferior a 50cm3) son muy populares en Europa debido a su movilidad, facilidad de uso y bajo costo. El artículo “Procedure to Verify the Maximum Speed of Automatic Transmission Mopeds in Periodic Motor Vehicle Inspection” (J. of Automobile Engr., 2008: 1615-1623) describió un banco de pruebas rodante para determinar la velocidad máxima del vehículo. Se propone una distribución normal con valor medio de 46.8 km/h y desviación estándar de 1.75 km/h. Considere la posibilidad de seleccionar al azar una sola de esas mopeds.
R// Media=46.8 X=50 Desviación Estándar=1.75
La probabilidad corresponde a P(X ≥ 10) =
1-pnorm(50, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)## [1] 0.9662681R// Media=46.8 X=50 Desviación Estándar=1.75
La probabilidad de que la velocidad máxima sea al menos de 48 km/h es de:
pnorm(48, mean = 46.8, sd = 1.75, lower.tail=FALSE)## [1] 0.2464466Suponga que el diámetro a la altura del pecho (pulg) de árboles de un tipo está normalmente distribuido con u= 8.8 y σ=2.8, como se sugiere en el artículo “Simulating a Harvester-Forwarder SoftWood Whinning” (\[Forest Products J., mayo de 1997; 36-41\]).
R// Media=8.8 X=10 Desviación Estándar=2.8
P(X ≥ 10) = Φ (10 – 8.8 / 2.8) Por lo que la probabilidad corresponde a:
pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 0.6658824Por lo que la probabilidad corresponde a:
P(X > 10) = 1 - Φ (10 – 8.8 / 2.8)
1-pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 0.3341176R// Media=8.8 X=20 Desviación Estándar=2.8
P(X > 20) = Φ (20 – 8.8 / 2.8) Por lo que la probabilidad corresponde a
1-pnorm(20, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 3.167124e-05R// Media=8.8 X=5 Desviación Estándar=2.8
P(5 < X < 10) = Φ (5 – 8.8 / 2.8) - Φ (10 – 8.8 / 2.8) Por lo que la probabilidad corresponde a
pnorm(5, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=FALSE) - pnorm(10, mean = 8.8, sd = 2.8, lower.tail=TRUE)## [1] 0.2467497Suponga que la concentración de cloruro en sangre (mmol/L) tiene una distribución normal con media de 104 y desviación estándar de 5 (información en el artículo \["Mathematical Model of Chloride Concentration in Human Blood", J. of Med. Engr. and Tech., 2006; 25-30\] incluida una gráfica de probabilidad normal como se describe en la sección 4.6, apoya esta suposición.
R// Media=104 X=105 Desviación Estándar=5
Que sea menor que 105 P(X < 105) = Φ (105 – 104 / 5) Por lo que la probabilidad es de
pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 0.5792597Pme <- pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)Que sea mayor que 105 P(X > 105) = 1 – Φ (105 – 104 / 5) Por lo que la probabilidad es de
1-pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)## [1] 0.4207403Pma <- 1-pnorm(105, mean = 104, sd = 5, lower.tail=TRUE)P(X = 105) = Φ (105 – 104 / 5)
Por lo que la probabilidad de que sea igual a 105 es de es de
1-Pma-Pme## [1] 0R// 0.1%=
(-3.08*5)+104## [1] 88.6(3.08*5)+104## [1] 119.4Por lo que se caracterizaría como <87.6 o >119.4
R// 91% = Z = 1.34 El percentil 91° de la distribución es
1.34*5+30## [1] 36.7R// 6% = 1.55 El percentil 6° de la distribución es
-1.55*5+30## [1] 22.25R// 10% = -2.33 El percentil 10° de la distribución es:
-2.33*0.14+3## [1] 2.6738El dispositivo de apertura automática de un paracaídas de carga militar se diseñó para que lo abriera a 200 m sobre el suelo. Suponga que la altitud de abertura en realidad tiene una distribución normal con valor medio de 200m y desviación estándar de 30m. La carga útil se dañará si el paracaídas se abre a una altitud menos de 100m ¿Cuál es la probabilidad de que se dañe la carga útil de cuando menos uno de cinco paracaídas lanzados en forma independiente? R//Z = (X - u)/ σ =
Z <-(100-200)/30
Z## [1] -3.333333Es el valor de Z. Por lo que la probabilidad es de
## [1] 0.0004290603Por lo que la probabilidad que se dañen 1 de cada 5 es de
P^5## [1] 1.454092e-17Se sabe que la distribución de resistencia de resistores de un tipo es normal y la resistencia del 10% de ellos es mayor de 10.256 ohms y la del 5% es de na resistencia menor de 9.671 ohms. ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la distribución de resistencia? R// 10˚ = 0.1000 —-> Z = -1.28 5˚ = 0.0500 —-> Z = -1.645
Z = (X -u)/ σ —-> X = (Z * σ) + u
Por lo que tenemos:
10.256 = -1.28 Z + u 9.671 = -1.645 Z + u Así,
σ <- 0.585/0.365Por lo que u es igual a
u<-9.671 + 1.645*σ
u## [1] 12.30751Una máquina que produce cojinetes de bolas inicialmente se ajustó de modo que el diámetro promedio verdadero de los cojinetes que produce sea de 0.500 pulg. Un cojinete es aceptable si su diámetro está dentro de 0.004 pulgadas de su valor objetivo. Suponga, sin embargo, que el ajuste cambia durante el curso de la producción, de modo que los cojinetes tengan diámetros normalmente distribuidos con valor medio de 0.499 pulg y desviación estándar de 0.002 pulg. ¿Qué porcentaje de los cojinetes producidos no será aceptable? R// B=0.504 A=0.496 Desviación Estándar (σ)=0.002 Media (u)=0.499
P (0.496 < Z < 0.504) Z = [(B -µ)/ σ] – [(A -µ)/ σ]
Z<-((0.504 - 0.499)/0.002) - ((0.496-0.499)/0.002)
Z## [1] 4Por lo que P(Z) es
a<-pnorm(0.504, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)-pnorm(0.496, mean = 0.499, sd = 0.002, lower.tail=TRUE)Así, la probabilidad de que sea aceptable es de
1-a## [1] 0.07301687Lo que corresponde al 7.3% de los cojines
La distribución de peso de paquetes enviados de cierta manera es normal con valor medio de 12lb y desviación estándar de 3.5lb. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso c más allá del cual habrá un cargo extra. ¿Qué valor de c es tal que 99% de todos los paquetes estén por lo menos 1 lb por debajo del peso de cargo extra? R//
u = 10 lb σ = 2 lb c - 1 = 99 (percentil) Entonces c - 1 = u + σ(2.33)
u <- 10
σ <- 2Por lo que c es
c <- u+σ*2.33+1
c## [1] 15.66Considere los bebés nacidos en el rango “normal” de 37-43 semanas de gestación. Datos extensos sustentan la suposición de que el peso al nacer de estos bebés nacidos en Estados Unidos está normalmente distribudo con media de 3432 g y desviación estándar de 482 g. [El artículo “Are Babies Normal?” (The American Statistician (1999):298-302) analizó datos de un año particular; para una selección sensible de intervalos de clase, un histograma no parecía del todo normal, pero después de una investigación se determinó que esto se debía a que en algunos hospitales median el peso en gramos, en otros lo medían en onza más cercana y luego lo convertían en gramos. Una selección modificada de intervalos de clase que permitía esto produjo un histograma que era descrito muy bien por una distribución normal.]
R// Media=3432 X=4000 Desviación Estándar=482
La probabilidad corresponde a
pnorm(4000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)## [1] 0.119314R// Media=2000 X=4000 Desviación Estándar=482
La probabilidad corresponde a
pnorm(2000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=TRUE) + pnorm(5000, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)## [1] 0.002055122R// Media=3178 X=4000 Desviación Estándar=482
La probabilidad corresponde a
pnorm(3178, mean = 3432, sd = 482, lower.tail=FALSE)## [1] 0.7008931R// Media=7 X=7.5595 Desviación Estándar=1.0608
La probabilidad corresponde a
1-pnorm(7, mean = 7.5595, sd = 1.0608, lower.tail=TRUE)## [1] 0.7010532El desarrollo de este trabajo nos ha permitido afianzar los conocimientos en la resolución de problemas de probabilidad para distribuciones normales y binomiales. Además, hemos podido hacer uso del software RStudio mejorando nuestro manejo del mismo y complementando nuestros conocimientos con la dinámica de escritura de código para la resolución de los ejercicios anteriores. Otro factor fomentado durante este proyecto fue el trabajo en equipo para lograr la resolución de todos los literales aquí presentes.