Penerapan Fungsi Diferensial Pada RStudio
Heny Rimadana, Prof. Dr. Suhartono, M.Kom
9/29/2021
Universitas :“UIN MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG”
Jurusan : “Teknik Informatika”
5.1. Turunan Fungsi (Diferensial) pada Rmarkdown
Diferensiasi merupakan proses mencari slope suatu garis pada titik yang diberikan. Secara umum proses diferensiasi dinyatakan melalui Persamaan (9.1) di bawah ini.
Kita dapat menyatakan secara formal proses diferensiasi sebagai limit Persamaan (9.1) dimana hh mendekati nol. Jadi kita ingin membuat nilai hh sekecil mungkin untuk memperoleh pendekatan terbaik terhadap nilai turunan suatu fungsi. Kita membatasi nilai hh pada sejumlah nilai yang masuk akal untuk mencegah pembagian dengan nilai yang tidak biasa. Kita juga harus memastikan f(x)f(x) dan f(x+h)f(x+h) terpisah cukup jauh untuk mencegah floating point round off error mempengaruhi proses substraksi.
Terdapat 3 buah metode untuk memperoleh turunan pertama suatu fungsi dengan menggunakan metode numerik, yaitu: metode selisih maju, metode selisih mundur, dan metode selisih tengah. Error pada ketiga metode numerik tersebut ditaksir menggunakan deret Taylor. Persamaan (9.2) dan Persamaan (9.3) menunjukkan persamaan untuk memperoleh turunan pertama dan taksiran error menggunakan metode selisih maju dan metode selisih mundur.
Metode nilai tengah menggunakan ukuran langkah hh dua kali dibandingkan dengan 2 metode lainnya. Error yang dihasilkan juga berbeda dengan kedua metode sebelumnya, dimana error dihasilkan dari pemotongan turunan ketiga pada deret Taylor. Secara umum metode selisih tengah memiliki akurasi yang lebih baik dibandingkan kedua metode sebelumnya karena metode ini mempertimbangkan dua sisi untuk memeriksa nilai xx. Persamaan (9.4) merupakan persamaan untuk memperoleh nilai turunan pertama suatu fungsi dan estimasi error menggunakan deret Taylor.
Bagaimana menentukan hh? beberapa literatur menggunakan pendekatan machine error ϵϵ berdasarkan program yang digunakan untuk melakukan proses perhitungan. Metode selisih maju dan selisih mundur menggunakan pendekatan yang ditunjukkan pada Persamaan (9.5).
Untuk metode selisih tengah pendekatan nilai hh menggunakan Persamaan (9.6).
Kita dapat menggunakan Persamaan (9.2) sampai Persamaan (9.4) untuk membentuk sebuah program yang digunakan untuk menghitung turunan pertama suatu fungsi. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:
findiff <- function(f, x, h, method=NULL){
if(is.null(method)){
warning("please select a method")
}else{
if(method == "forward"){
return((f(x+h)-f(x))/h)
}else if(method=="backward"){
return((f(x)-f(x-h))/h)
}else if(method=="central"){
return((f(x+h)-f(x-h))/(2*h))
}else{
warning("you can use method: forward, bacward, or central")
}
}
}LEMBAR KERJA MAHASISWA
Contoh soal turunan fungsi menggunakan Rstudio:
Jika ƒ(x) = 3 (x^8) − 5(x^6) + x*4 − x + 11, maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah
PENYELESAIAN
findiff(function(x)
3*(x^8) + 5*(x^6) + x*4-x + 11, x=4, h=0.05,
method="central")## [1] 424385.1~Soal 1 Turunan Fungsi
y = 3x4 + 2x2 + x maka turunan dari f(x) di x = 4 adalah
Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + x , x=4, h=0.05,
method="central")## [1] 785.12~Soal 2 Turunan Fungsi
y = x3 + 3x2 maka turunan dari f(x) di x = 3 adalah
Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
3*x + 3*(x^2) + x , x=3, h=0.05,
method="central")## [1] 225.2 Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat
Beberapa pernyataan yang menjadi dasar antara lain sebagai berikut.
Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x (fungsi f adalah konstan), maka f ’(x) = 0.
Jika f(x) = x untuk setiap x (fungsi f adalah identitas), maka f ’(x) = 1.
Jika f(x) = xn dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ’(x) = nxn–1.
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Contoh soal turunan fungsi konstanta dan pangkat :
Jika ƒ(x) = 5x6 − 2x4 + x3 − 8x + 3, maka turunan dari fungsi f(x) adalah
Penyelesaian pada RStudio:
findiff(function(x)
5*(x^6)- 2*(x^4)+ x^3 - 8*x +3 , x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 17.23269~Soal 1 Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat
y = 3(x^4) + 2(x^2) + 2*x dengan dimisalkan a=2, x=1, h=0.05.
Penyelesaian pada RStudio:
findiff(function(x)
3*(x^4) + 2*(x^2) + 2*x, x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 18.03~Soal 2 Turunan Fungsi Konstanta Dan Pangkat
y = abx3 + 3x2 dengan dimisalkan a= 1 b= 2 x= 1 h=0.05
Penyelesaian pada RStudio:
findiff(function(x)
1*2*(x^3) + 3*(x^2) , x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 12.0055.3 Sifat – sifat Turunan
Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsi – fungsi dalam x sehingga u =f(x) dan v =g(x) maka berlaku :
- Jika y = ku, maka y’ = k (u’)
- Jika y = u + v, maka y’ = u’ + v′
- Jika y = u − v, maka y’ = u’ − v′
- Jika y = u v, maka y’ = u’v + u v′
- Jika y = u/v, maka y’ = u’v–u v’/v2
Contoh penerapan sifat-sifat turunan dan Pembahasannya.
jika f(x) = (3x5 + 2x)( 4x + 7), maka turunan dari f(x) adalah
Penyelesaian secara manual :
Jika ƒ(x) = g(x). ℎ(x)
g(x) = 3x5 + 2x
ℎ(x) = 4x + 7
g′(x) = 15x4 + 2
ℎ′(x) = 4
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
f ’(x) = (15x4 + 2).(4x + 7) + (3x5 + 2x).4LEMBAR KERJA MAHASISWA
Contoh soal sifat-sifat turunan :
Jika ƒ(x) = 2*s-1 /s^2+1, maka turunan dari f(x) adalah
Penyelesaian pada RStudio:
Jika ƒ(x) = 2s-1 /s^2+1 dimisalkan s=x maka, 2x-1 /x^2+1 , x=1, h=0.05
sesuai dengan sifat ke 5 (y = u/v, maka y’ = u’v-u v’/v2)
langkau-langkah yang harus di lakukan:
- tentukan u, u’, v, v’.
u = 2*x-1
v = x^2+1
u'= 2
v'= 2x- masukkan kedalam sifat dan operasikan
ƒ(x)’ = 2(x^3+1)-(2x-1)2x/x^2+1 ^2
Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
2*(x^3+1)-(2*x-1)*2*x/ x^2+1^2 , x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 3.999987Soal – soal dibawah ini kerjakan secara mannual dan menggunakan IDE RSudio:
1 y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 )
2 y= (x^3 + 3x^2)(4x^2 + 2)
3 y = 1/S^2+1
4 y = 1/S^2–3*S+9
Pengerjaan dan pembahasan Soal 1
- Penyelesaian pada RStudio:
Jika y = (3x^4+2x2+x)(x2 + 7 ) dengan x=1 h=0.0.471; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)
g(x) = 3*x^4+2*x^2+x
ℎ(x) = x^2 + 7
g′(x) = 12*x^3 + 4*x
ℎ′(x) = 2*x
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
ƒ'(x) = (12*x^3 + 4*x)*(x^2 + 7) + (3*x^4+2*x^2+x)*2*x
ƒ'(1) = 16*8 + 6*2= 140
- masukkan kedalam fungsi dan operasikan
- Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
(3*(x^4)+2*x^2+x)*(x^2) + 7 , x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 29.17261Pengerjaan dan pembahasan Soal 2
y= (x^3 + 3x^2)(4x^2 + 2)
- Penyelesaian manual
Jika y = x^3 + (3(x^2)) (4*(x^2) + 2) dengan x=1 h=0.05; ƒ(x) = g(x). ℎ(x)
g(x) = x^3 + 3*x^2
ℎ(x) = 4*(x^2) + 2
g′(x) = 3*(x^2) + 6*x
ℎ′(x) = 8*x
ƒ'(x) = g'(x). ℎ(x) + g(x). ℎ'(x)
ƒ'(x) = 3*(x^2) + 4*(x^2) + 2 + (x^3 + 3*(x^2)*8*x)
ƒ'(1) = 3*(1^2) + 4*(1^2) + 2 + (1^3 + 3*(1^2)*8*1)
- Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
x^3 + (3*(x^2)) * (4*(x^2) + 2), x=1, h=0.05,
method="central")## [1] 63.1225Pengerjaan dan pembahasan Soal 3
y = 1/S^2+1 Jika y = 1/S^2+1 dimisalkan s=x maka, 1/(x^2)+1 , x=1, h=0.05
- Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
1/(x^2)+1, x=1, h=0.05,
method="central")## [1] -2.010038Pengerjaan dan pembahasan Soal 4
y= 1/4(S^2)–(3S)+9
Jika y = 1/4(S2)–(3S)+9 dimisalkan s=x maka, y = 1/4(x2)–(3x)+9 , x=1, h=0.05
- Penyelesaian dengan Rstudio
findiff(function(x)
1/(x^2)*4 + 3*x+9, x=1, h=0.05,
method="central")## [1] -5.040151REFERENSI
Suhartono.2015.Memahami Kalkulus Dasar Menggunakan Wolfram Mathematica 9.UIN Maliki Malang: Malang.
_________________________________________________________________________________________________________
Kunjungi Rpubs saya untuk melihat penjelasan yang lain <https://rpubs.com/henyrimadana>
_________________________________________________________________________________________________________