Introducción a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la insertidumbre. - Wasserman

Conceptos fundamentales de probabilidad

  1. Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad, etc.

  2. Interpretación frecuencista de la probabilidad.

  3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

  4. Regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: si lanzamos una moneda dos veces, entonces

\[\Omega= \{AA, AS, SA, SS \} \]

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

e.g. Que el primer lanzamiento resulte águila. \[ A=\{AA, AS\} \]

Evento equiprobables

La probabilidad se puede ver como una extension de la idea de proporción o cociente de una parte con respecto a un todo.

e.g. En la carrera de Ing. Química hay 300 hombres y 700 mujeres

Si elegimos un estudiante de ingeniería quimica. ¿Cual es la probabilidad de que sea hombre? \[ \frac{300}{700}+300=0.3 \]

La probabilidad es entonces de 0.3

Eventos equiprobables: Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

Esto se consibe de la siguiente forma

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \]

Por lo que solo hace falta contar.

e.g. Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por 3 hombres y dos mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \] y la funcion para calcular las combinaciones es choose(n,r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Las probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de recuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a 0.

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones

Supongamos que lanzamos la moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente.

l10 <- sample(c("S", "A"),10, replace=TRUE)
l10
##  [1] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
  • calcularemos la secuencia de frecuencias relativas de sello
cumsum(l10== "S")
##  [1] 0 0 0 1 2 2 3 3 3 3
  • Dividiendo
round(cumsum(l10== "S")/1:10,2)
##  [1] 0.00 0.00 0.00 0.25 0.40 0.33 0.43 0.38 0.33 0.30

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R En R, cada distribución de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distribuciones mas importantes son:

  • Distribución_____________Alias
  • Distribución binomial______binom
  • Distribución de Poisson____pois
  • Distribución normal________norm
  • Distribución exponencial____exp
  • Distribución t de Student___t
  • Distribución Chi2_________chisq
  • Distribución F____________f

\[ \begin{array}{l|l|l|c} \text{Función} & \text{Significado} & \text{Uso}& \text{observación}\\ \hline p & \text {probability} & \text{Calcula probabilidades acumuladas (cdf)} & \text{---}\\ q & \text{quantile} & \text{Calcula cuantiles (percentiles)} & \text{---}\\ d & \text{density} & \text{Calcula probabilidades puntuales} & \text{sólo uso gráfico en el caso continuo}\\ r & \text{random} & \text{Genera datos aleatorios según una distribución específica} & \text{---}\\ \hline \end {array} \] Distribución Exponencial

curve(dexp(x), from = 0, to = 10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10.

Distribución binomial

x <- rbinom(20, 1, 0.5)
x
##  [1] 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0
#Genera 20 observaciones con distribución B(1, 0.5)

Contando éxitos vs Fracasos

table(x)
## x
##  0  1 
## 10 10

E.g. Distribución normal Si \(X\) es una variable aleatoria, con distribución normal de media 3, y su desviación típica es de 0.5, la probabilidad de que \(X\) sea menor que 3.5, se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean = 3, sd = 0.5)
## [1] 0.8413447
#p probabilidad, norm de distribución normal. sd desviación estándar
  • Para calcular el cuantil 0.7 de una variable aleatoria normal estándar Z, es decir, un valor X tal que
qnorm(0.7)
## [1] 0.5244005
  • Para calcular el mismo cuantil, pero para una variable aleatoria normal de media 0 y una desviación tipica/sd 0.5
qnorm(0.7, sd = 0.5)
## [1] 0.2622003

El valor \((z_\alpha \)\) que aparece en muchas de las fórmulas para intervalos y contrastes se obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)
## [1] 1.959964
  • Para generar una muestra de tamaño 100 de una población normal de media 10 y desviación típica 1 (y guardarla en un vector x)
x <-rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x
##   [1]  8.520013  9.210694  9.559282 10.833700 10.470557  9.039374  9.581836
##   [8] 10.674175 10.016484  9.759193 11.917605  9.172944 10.831371  9.668519
##  [15]  8.557579  8.941153  8.974450 10.045886 11.559578  7.808041 10.435110
##  [22]  9.580233  8.958446  8.945597  9.636709  9.775724 10.005370  8.852052
##  [29] 10.916184 10.819234  9.827541  9.621753  9.686952  9.098775 10.801099
##  [36]  9.069855 12.496817 10.484973 10.812683 10.909297  9.542173  9.955413
##  [43] 10.118754  8.937114  9.619005  9.147127  9.723283  8.725757  8.428412
##  [50] 10.440955  9.307453  9.176218  9.467490  9.499891  8.565845  8.560679
##  [57] 10.274514 10.122055  9.355620 11.204288 10.138946  8.389555  9.453145
##  [64] 10.654925  9.007204 11.391782  8.856665 10.427834 11.541727  9.201451
##  [71] 10.146987  8.669269  8.803699 10.492440 10.459767  9.935751  9.491329
##  [78]  8.911060  9.271721  9.817198 10.041607  8.998132 10.429918  9.621411
##  [85] 10.643914  9.600585  8.670506 10.431609 10.040297 10.486112  7.449034
##  [92]  9.217903  9.034323  9.734569  9.805125 10.961772 10.888958 10.116698
##  [99] 10.157401  9.853391
  • Para estimar el promedio de x
mean(x)
## [1] 9.772946
  • Histograma de frecuencias
hist(x)

  • Gráfico de cajas y bigotes
boxplot(x)

  • Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las áreas de los rectángulos sea 1) junto con la densidad de la población:
hist(x,freq = FALSE)
#Freq = FALSE, para que el área del histograma sea 1
curve(dnorm(x, mean = 10, sd = 1), from = 7, to = 13, add = TRUE) 

#densidad normal