Introduccion a la probabilidad

La probabilidad es el lenguaje matematico para cuantificar la insertidumbre - Wasserman

Conceptos fundamentales de probabilidad

1.- Terminologia de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad

2.- Interpretación frecuencista de la probabilidad

3.- Probabilidad condicional y su relación con la independencia

4.- Regla de Bayes

Espacio de resultados y eventos

Es espacio de resultados \(\Omega\) el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Si lanzamos una moneda 2 veces, entonces

\[ \Omega=\{AA,SS,AS,SA\} \] Un Evento es un subconjunto del espacio muestral, los eventos usualmente se denotan con mayusculas.

Ejemplo: Que el primer lanzamiento resulte Aguila.

\[ A=\{AA, AS\} \]

Evento equiprobables

La probabilidad se puede ver como una proporcion de una parte con respecto a un todo

Ejemplo: Si en ingenieria quimica tenemos 1000 estudiantes, de los cuales

300 son hombres
700 son mujeres

Si elegimos un estudiante al azar de ingenieria quimica. Cual es la probabilidad de que sea hombre?

\[ \frac{300}{700+300}=0.3 \] La probabilidad entonces es de 0.3

Eventos equiprobables Si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el número de resultados en A dividido entre el número total de posibles resultados:

\[ P(A)=\frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

Ejemplo: Combinaciones

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por 3 hombres y dos mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{5}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6} {3} \dbinom {9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probabilidad que buscamos es: \[ \frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}} \]

y la funcion para calcular las combinaciones es choose(n,r)

choose(6,3) * choose(9,2) / choose(15,5)

## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

La probabilidades se entienden como una aproximacion matematica de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:

lanzamientos_10<- sample(c("A","S"), 10, replace=TRUE)
lanzamientos_10

##  [1] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"

Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de Aguila.

cumsum(lanzamientos_10=="A")

##  [1] 0 1 1 2 2 2 3 4 4 4

Frecuencias relativa

round(cumsum(lanzamientos_10=="A")/1:10,2)

##  [1] 0.00 0.50 0.33 0.50 0.40 0.33 0.43 0.50 0.44 0.40

Distribuciones de probabilidad

Funciones en R

En R, cada distribucion de probabilidad se nombra mediante una palabra clave o alias. Las palabras clave para las distibuciones mas importantes son:

Distribucion Alias
Distribucion binomial binom
Distribucion de Poisson pois
Distribucion normal norm
Distribucion exponencial exp
Distribucion t de Student t
Distribucion Chi2 chisq
Distribucion F f

Distribucion Exponencial

curve (dexp(x), from = 0, to=10)

#Representa la densidad de una exponencial de media 1 entre 0 y 10

Distribucion binomial

x<- rbinom(20, 1, 0.5)
x

##  [1] 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1

#Genera 20 observaciones con distribucion B(1,0.5)

Contador exitos vs fracasos

table(x)

## x
##  0  1 
##  7 13

Ejemplo: Distribucion normal

si \(X\)es una variable aleatoria, con distribucion normal de media 3, y su desviacion tipica es de 0.5, la probabilidad de que \(X\) sea menor que 3.5 se calcula en R de esta forma:

pnorm(3.5, mean = 3, sd=0.5)

## [1] 0.8413447

Para calcular el cuantil 0.7 de una v.a. normal estandar Z, es decir, un valor x tal que:

qnorm(0.7)

## [1] 0.5244005

Para calcular el mismo cuantil, pero para una v.a. normal de media 0 y DT 0.5

qnorm(0.7, sd=0.5)

## [1] 0.2622003

El valor \(z_\alpha\) que aparece en muchas formulas para invervalos y contrastes obtiene con el comando qnorm(1-alfa). Algunos ejemplos:

qnorm(0.975)

## [1] 1.959964

Para generar una muestra de tamaño 100 de una poblacion normal de media 10 y desviacion tipica 1 (y guardarla en un vetor x):

x <- rnorm(100, mean = 10, sd=1)
x

##   [1]  9.901379 12.809169 10.370935  9.713222  9.683116  9.905769  9.702307
##   [8]  8.837213  9.936099 10.162675 10.527912 10.791939 10.184209 10.585887
##  [15] 10.208781 10.163423 10.466809  8.571471  8.749437  9.591181 10.458437
##  [22] 10.273362 10.455807  8.944741 10.559053 10.581938  8.667880 10.829093
##  [29] 11.206194 10.573161  8.595611  9.868964 10.200505 11.667915 10.749561
##  [36]  9.567314 10.373398 10.550874  9.785215 10.107181 10.651620 10.570713
##  [43] 11.077388 10.820945 10.105433  9.185480  8.551259  9.494893  8.483514
##  [50] 11.438427  8.796694  8.688844 10.776064  9.487429  7.908953  9.410183
##  [57] 11.238508  8.488176 10.399444  8.498230 11.114044 10.779145  9.598832
##  [64] 10.700612 11.515932  9.524520 10.918333 10.358405 11.779486  8.524823
##  [71]  8.653087 10.543321 10.828385 10.878273 10.262024 11.301922  9.726134
##  [78] 10.788853 10.268202  9.725833  9.214461 11.383772  8.052468 11.446036
##  [85]  7.710122 10.492269  8.978983  9.367724 10.769368 11.343585 11.276117
##  [92] 11.027062  9.143337  9.544795  9.744732 11.227876 10.540637 11.593393
##  [99]  9.065900  8.693122

Para estimar el promedio de x

mean(x)

## [1] 10.07357

Histograma de frecuencias

hist(x)

Grafico de cajaas y bigotes

boxplot(x)

*Histograma de la muestra (normalizado para que la suma de las areas de los rectangulos sea 1) junto con la densidad de la poblacioon

hist(x, freq = FALSE) #Sirve para que el area del histograma sea 1 
curve(dnorm(x, mean = 10, sd=1), from = 7, to=13, add = TRUE)

Ejercicios:

Si Z es una variable con distribución normal estándar, calcula P(−2.34<Z<4.78).
Calcula el rango intercuartílico de una población normal estándar.
Genera una muestra de tamaño 10 de una población normal estándar. ¿Cuál es la diferencia entre la media muestral y la poblacional? Repite el ejercicio 3 veces y anota las 3 diferencias.
Genera 1000 números con distribución de Poisson de parámetro λ=1. Representa el gráfico de barras de los números obtenidos. Calcula la media y la varianza de los números obtenidos. ¿Se parecen a los valores teóricos?

gn<-rpois(n=1000, 1)
gn

##    [1] 0 2 1 0 4 1 0 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1
##   [38] 1 1 4 3 2 2 1 2 3 0 4 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 2 1 2 1 2 2 3 1 1
##   [75] 1 0 2 2 1 1 0 1 1 0 3 2 2 1 1 0 1 2 2 2 0 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 0 0 3 1 3 0
##  [112] 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 2 1 2 1 1 0 0 0 3 1 2 1 0
##  [149] 0 2 1 1 2 1 0 3 0 2 2 2 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 2 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1
##  [186] 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 2 0 0 0 0 1 3 1 0 3 3 0 0 0 3 0 0 0 4 2 1
##  [223] 0 3 2 0 0 3 4 2 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 1 0 1 3 0 2 1 1 0 0 0 1 0 2 1 2 1 1 1
##  [260] 1 0 0 4 1 1 3 0 2 2 0 1 3 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 3 0 0 2 0 0 2 3 2 0 3 0 1
##  [297] 2 0 0 0 1 2 0 3 2 1 1 5 0 2 1 1 3 1 1 0 2 1 0 0 0 2 1 0 1 1 0 1 2 2 0 2 2
##  [334] 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 3 1 0 0 0 1 0 3 0 4 1 1 0 0 1 2 0 1 2 1 0 5 1 0 2 2 1
##  [371] 1 0 0 0 1 0 4 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 3 1 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1
##  [408] 3 0 2 1 2 0 1 3 0 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 0 0
##  [445] 1 0 0 1 0 2 1 5 1 2 2 2 1 3 2 2 1 1 1 1 0 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 3 0 0 0 1 1
##  [482] 2 0 0 0 1 2 3 0 0 2 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 1 2 1 1 0 0 0 3 1 2 2 2 0
##  [519] 0 1 2 2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 0 0 2 1 0 0 0 0 2 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 3 1 0
##  [556] 2 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 1 0 6 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 0 3 0 1 2 1
##  [593] 3 2 1 2 1 0 2 0 1 2 2 1 0 3 2 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 2 1 1 4 1 0 0 1 1 1
##  [630] 1 2 0 2 3 1 2 2 1 1 1 0 2 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 2 4 1 2 1 0 0 1 1 0 4
##  [667] 0 0 1 0 2 1 3 0 1 0 2 0 1 2 2 0 2 1 0 1 0 0 1 2 1 1 2 0 0 2 0 2 0 1 0 1 0
##  [704] 0 2 2 0 2 2 1 0 3 1 0 1 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 4 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 1 3 1
##  [741] 0 1 0 2 3 4 0 0 1 2 0 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 3 1 2 1 3 3 0 1 0 1 1 0 1
##  [778] 2 1 1 3 1 1 3 1 2 0 0 0 2 1 0 0 2 1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 2 1 0 1 1 3 1 0 1
##  [815] 4 1 1 3 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 2 0 0 1 1 0 1 1 0 0 2 3 3 1 1 1 0 1
##  [852] 0 1 0 2 0 3 0 1 0 1 1 2 1 1 0 4 3 1 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 2 1 0 1
##  [889] 2 1 0 1 3 1 2 0 0 2 2 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 1 3 2 1 0 1 4 1 2 1 1 0
##  [926] 1 0 0 2 1 1 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 2 2 3 1 0 2 1 2 0 1 1 0 1 0 1 1 2 2 1 5 1
##  [963] 1 3 5 1 3 0 2 1 2 3 0 0 0 3 1 1 1 0 1 0 1 4 2 0 1 1 1 1 0 1 0 1 4 1 1 6 1
## [1000] 1

hist(gn)

mean(gn)

## [1] 1.032

va<-var(gn)
va

## [1] 1.066042

AI5UC1_6

Josue Flores

9/28/2021

Introduccion a la probabilidad

Espacio de resultados y eventos

Evento equiprobables

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Distribuciones de probabilidad