Introducción a la probabilidad.

La probabilidad es el lenguaje matemátivo para cuantificar la insertidumbre - Wasserman.

Conceptos fundamentales de probabilidad.

  1. Terminología de probabilidad: espacio de resultados, eventos, funciones de probabilidad.

  2. Interpretación frecuentista de la probabilidad.

  3. Probabilidad condicional y su relación con la independencia.

  4. La regla de Bayes.

Espacio de resultados y eventos.

El espacio de resultados \(\Omega\) es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.

  • Ejemplo: Si lanzamos una moneda 2 veces, entonces:

\[ \Omega= \{AA, SS, AS, SA\} \] Un Evento es un subconjunto del espacio mmuestral, los eventos usualmente se denotan por mayúsculas.

  • Ejemplo: Que el primer lanzamiento resultre águila.

\[ A=\{AA, AS\}\]

Eventos equiprobables.

La probabilidad se puede ver como una extensión de la idea de proporción, o cociente de una parte con respecto a un todo.

  • Ejemplo: Si en ingeniería química tenemos 1000 estudiantes, de los cuales:

  • 300 son hombres.

  • 700 son mujeres.

Si elegimos un estudiante al azar de ingeniería quimica. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?

\[ P =\frac{300}{700+300} = 0.3 \] Eventos equiprobables si todos los elementos en el espacio de resultados tienen la misma oportunidad de ser elegidos entonces la probabilidad del evento A es el mismo de resultados A dividido entre el número total de posibles resultados.

Esto se coincide de las siguientes formas:

\[ Probabilidades = Eventos favorables / Eventos posibles. \] \[ P(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \] Por lo que solo hace falta contar.

  • Ejemplo: Combinaciones.

Un comité de 5 personas será seleccionado de un grupo de 6 hombres y 9 mujeres. Si la selección es aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de qué el comité este conformado por 3 hombres y 3 mujeres?

Hay \(\dbinom{15}{15}\) posibles comités, cada uno tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

Por otra parte hay \(\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}\) posibles comités que incluyen 3 hombres y 2 mujeres, por lo tanto, la probablidad que buscamos es:

\[\frac{\dbinom{6}{3} \dbinom{9}{2}}{\dbinom{15}{5}}\] y la función para calcular las combinaciones es choose (n, r)

choose(6,3) * choose (9,2) / choose (15,5)
## [1] 0.2397602

Interpretación frecuentista de la probabilidad.

Una frecuencia relativa es una proporción que mide que tan seguido, o frecuente, ocurre una u otra cosa en una sucesión de observaciones.

La probabilidades se entienden como una aproximación matemática de frecuencias relativas cuando la frecuencia total tiende a cero.

Supongamos que lanzamos una moneda 10 veces y obtenemos lo siguiente:

set.seed((123))
lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
  • Ahora vamos a calcular la secuencia de frecuencias relativas de Aguila.
cumsum(lanzamientos_10 == "A") #Suma acumulada de Aguila
##  [1] 1 2 3 3 4 4 4 4 5 6
  • Frecuencia relativa.
round(cumsum(lanzamientos_10 == "A")/ 1:10, 2)
##  [1] 1.00 1.00 1.00 0.75 0.80 0.67 0.57 0.50 0.56 0.60