Diseño Factorial 2^3
Ing. Ana Cecilia Duran Hernandez
28/9/2021
Diseño Factorial \(2^3\)
Ejemplo
- En una empresa lechera se han tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que son tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento \(2^3\) cos dos réplicas. A continuación se aprecian los resultados obtenid:(Pulido & Vara Salazar, 2012)
| Ingrediente A | Ingrediente B | Ingrediente C | Viscosidad |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | 13.3,19.9 |
| 1 | -1 | -1 | 14.7,14.4 |
| -1 | 1 | -1 | 14.6,14.1 |
| 1 | -1 | -1 | 14.3,14.1 |
| -1 | -1 | 1 | 16.9,17.2 |
| 1 | -1 | 1 | 15.5,15.1 |
| -1 | 1 | 1 | 17.4,17.1 |
| 1 | 1 | 1 | 18.9,19.2 |
- Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
- Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
- Interprete a detalle los efectos significativos.
- ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
- Verifique residuos, ¿Qué considera destacado?
Solución del ejercicio
a) Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos.
library(printr)#------------Adquisición de datos-------------#
library(printr)
library(FrF2)
datos=read.table("dataset.txt", header = TRUE)
str(datos)## 'data.frame': 16 obs. of 4 variables:
## $ Ingrediente_A: int -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...
## $ Ingrediente_B: int -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 ...
## $ Ingrediente_C: int -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 ...
## $ Viscosidad : num 13.3 14.7 14.6 14.3 16.9 15.5 17.4 18.9 13.9 14.4 ...View(datos)
attach(datos) Modelo matemático
\[\hat{y}{ijk}=\mu+\tau{i}+\beta_{j}+\delta_{k}+\tau\beta_{ij}+\tau\delta_{ik}+\beta\delta_{jk}+\tau\beta\delta_{ijk}+E_{ijk}\]
#---------------Modelo matemático--------------#
f_ingrediente_A=factor(`Ingrediente_A`)
f_ingrediente_B=factor(`Ingrediente_B`)
f_ingrediente_C=factor(`Ingrediente_C`)
head(datos, n=64L)| Ingrediente_A | Ingrediente_B | Ingrediente_C | Viscosidad |
|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | 13.3 |
| 1 | -1 | -1 | 14.7 |
| -1 | 1 | -1 | 14.6 |
| 1 | 1 | -1 | 14.3 |
| -1 | -1 | 1 | 16.9 |
| 1 | -1 | 1 | 15.5 |
| -1 | 1 | 1 | 17.4 |
| 1 | 1 | 1 | 18.9 |
| -1 | -1 | -1 | 13.9 |
| 1 | -1 | -1 | 14.4 |
| -1 | 1 | -1 | 14.9 |
| 1 | 1 | -1 | 14.1 |
| -1 | -1 | 1 | 17.2 |
| 1 | -1 | 1 | 15.1 |
| -1 | 1 | 1 | 17.1 |
| 1 | 1 | 1 | 19.2 |
modelo=lm(Viscosidad~(f_ingrediente_A+f_ingrediente_B+f_ingrediente_C+f_ingrediente_A*f_ingrediente_B+f_ingrediente_A*f_ingrediente_C+f_ingrediente_B*f_ingrediente_C+f_ingrediente_A*f_ingrediente_B*f_ingrediente_C))
summary(modelo)##
## Call:
## lm.default(formula = Viscosidad ~ (f_ingrediente_A + f_ingrediente_B +
## f_ingrediente_C + f_ingrediente_A * f_ingrediente_B + f_ingrediente_A *
## f_ingrediente_C + f_ingrediente_B * f_ingrediente_C + f_ingrediente_A *
## f_ingrediente_B * f_ingrediente_C))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.30 -0.15 0.00 0.15 0.30
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) 13.6000 0.1777 76.551
## f_ingrediente_A1 0.9500 0.2512 3.781
## f_ingrediente_B1 1.1500 0.2512 4.577
## f_ingrediente_C1 3.4500 0.2512 13.732
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1 -1.5000 0.3553 -4.222
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_C1 -2.7000 0.3553 -7.599
## f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1 -0.9500 0.3553 -2.674
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1 5.0500 0.5025 10.050
## Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.45e-13 ***
## f_ingrediente_A1 0.00538 **
## f_ingrediente_B1 0.00181 **
## f_ingrediente_C1 7.63e-07 ***
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1 0.00291 **
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_C1 6.31e-05 ***
## f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1 0.02820 *
## f_ingrediente_A1:f_ingrediente_B1:f_ingrediente_C1 8.18e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2512 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9898, Adjusted R-squared: 0.9809
## F-statistic: 110.8 on 7 and 8 DF, p-value: 2.493e-07Los resultados obtenidos en el modelo de regresión, se puede ver que si existe una interacción entre los factores, por lo que el problema mencionado sobre la viscosidad puede ser arreglado por los ingredientes.
Se puede observar que el intercepto si es significativo, ya que de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este si es menor a \(\alpha=0.05\).
En el ingrediente A, de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este es menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).
En el ingrediente B, de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este es menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).
En el ingrediente C, de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este es menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad).
En la interacción entre el ingrediente A y el ingrediente B de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este arroja un valor mayor a \(\alpha=0.05\), por lo que no es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).
En la interacción entre el ingrediente A y el ingrediente C de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este arroja un valor menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad).
En la interacción entre el ingrediente B y el ingrediente C de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este arroja un valor mayor a \(\alpha=0.05\), por lo que no es significativo (afecta a la viscosidad en menor proporción).
En la interacción entre el ingrediente A, el ingrediente B y el ingrediente C, de acuerdo con el \(Valor_{p}>\alpha\) este arroja un valor menor a \(\alpha=0.05\), por lo que si es significativo (afecta a la viscosidad).
#--------------Gráfica de efectos individuales----------#
library(printr)
experimento=FrF2(nruns = 8,nfactors = 3,factor.names = list(f_ingrediente_A=c(-1,1),f_ingrediente_B=c(-1,1),f_ingrediente_C=c(1,-1)),replications = 2,randomize = FALSE)
experimento_resp=add.response(design = experimento,response = Viscosidad)
grafica_efectos_principales=MEPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Efectos Individuales") 
#------------Gráfica de interacciones--------#
grafica_interacciones=IAPlot(experimento_resp, main= "Gráfica de Interacciones") 
head(grafica_efectos_principales)| f_ingrediente_A | f_ingrediente_B | f_ingrediente_C | |
|---|---|---|---|
| - | 15.6625 | 15.1250 | 14.2750 |
| + | 15.7750 | 16.3125 | 17.1625 |
head(grafica_interacciones)| f_ingrediente_A:f_ingrediente_B | f_ingrediente_A:f_ingrediente_C | f_ingrediente_B:f_ingrediente_C | |
|---|---|---|---|
| -:- | 15.325 | 14.175 | 14.075 |
| +:- | 14.925 | 14.375 | 14.475 |
| -:+ | 16.000 | 17.150 | 16.175 |
| +:+ | 16.625 | 17.175 | 18.150 |
Gráfica de efectos individuales
De forma individual como se observa en la gráfica de efectos individuales se puede ver cuales son realmente significativos, y en términos de los efectos el que hace un mayor alteramiento es el ingrediente C, ya que de acuerdo con la gráfica este tiene una pendiente más pronunciada a comparación de los ingredientes A y B.
Gráfica de interacciones
En la gráfica de interacciones se puede observar como se comportan cuando se asocian los factores.
Y es de de observarse que en efecto, el ingrediente C es el factor preponderante, es el que altera a los demás ingredientes junto con el ingrediente B.
b) Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales.
#-------------------Tabla Anova-------------------#
anova=aov(modelo)
summary(anova)## Df Sum Sq Mean Sq F value
## f_ingrediente_A 1 0.05 0.05 0.802
## f_ingrediente_B 1 5.64 5.64 89.356
## f_ingrediente_C 1 33.35 33.35 528.327
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B 1 1.05 1.05 16.644
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_C 1 0.03 0.03 0.485
## f_ingrediente_B:f_ingrediente_C 1 2.48 2.48 39.297
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B:f_ingrediente_C 1 6.38 6.38 101.000
## Residuals 8 0.50 0.06
## Pr(>F)
## f_ingrediente_A 0.396647
## f_ingrediente_B 1.29e-05 ***
## f_ingrediente_C 1.36e-08 ***
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B 0.003536 **
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_C 0.505830
## f_ingrediente_B:f_ingrediente_C 0.000241 ***
## f_ingrediente_A:f_ingrediente_B:f_ingrediente_C 8.18e-06 ***
## Residuals
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Se puede observar en base a los resultados del ANOVA, es que en terminos individuales el factor realmente significativo (el preponderante) es el ingredinte C y el B, asi como en la de interacción con otros ingredientes de igual manera son significativos.
c) Interprete a detalle los efectos significativos.
Los resultados que se muestran en la tabla ANOVA del inciso b), se observa que existen efectos significativos, ya que de acuerdo con el valor de \(\alpha=0.05\) el \(Valor_{p}>\alpha\) y estos arrojan un valor menor a este, ya sea individualmente como ingrediente o en interaccion con otros, por lo que en lo que se puede ver que los ingredientes significativos son los ingredintes B, C, AB, CB y ABC, y como resultado se puede decir que estos si afectan a la viscosidad de la bebida.
d) ¿Hay un tratamiento ganador para minimizar?
e) Verifique residuos, ¿Qué considera destacado?
Prueba de Normalidad de Residuos de Shapiro-Wilk
\[H_{0}:R \, {\in} N\, ({\mu=0}, {\sigma^2}=Constante)\]
\[H_{1}:R \, {\notin}\, N\, ({\mu=0}, {\sigma^2}<Constante)\]
{r,message=FALSE} #——————Análisis Residual—————-# normalidad=shapiro.test(resid(modelo)) print(normalidad)
Los resultados obtenidos por la prueba de normalidad, como el valor de P arroja un resultado menor a 0.05, rechazo la hipotesis nula y acepto la interna, por lo que se puede concluir que los datos no son normales.
#-------------Gráfica de Probabiliad Normal-----------------#
qqnorm(resid(modelo), main= "Gráfica de Probabilidad para los Residuales del Modelo", xlab="Cuantiles Teoricos", ylab = "Cuantiles de muestra")
qqline(resid(modelo))
Prueba Igualdad de Varianzas de Bartlett
\[H_{0}:\sigma^{2}{i}=\sigma^{2}{j}=Constante\]
\[H_{1}:\sigma^{2}{i} \neq \sigma^{2}{j}\neq Constante\]
homocedasticidad=bartlett.test(resid(modelo),f_ingrediente_A,ingrediente_B,ingrediente_C,data=experimento_resp)
print(homocedasticidad)##
## Bartlett test of homogeneity of variances
##
## data: resid(modelo) and f_ingrediente_A
## Bartlett's K-squared = 0.41308, df = 1, p-value = 0.5204Se obtuvieron resultados por el análisis de homocedasticidad, se aceptaron la hipotesis nula, ya que el valor de P es mayor que 0.05, por lo que los residuos tienen una distribución normal y una varianza constante.